cho a,b,c là các số thực khác 0. Tìm Min
P=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}$
cho a,b,c là các số thực khác 0. Tìm Min
P=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}$
Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks
Dễ dàng chứng minh:
$(a+b+c+d+e)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e})\ge25$
Hay:
$\frac{1}{\sum a}\le\sum\frac{1}{25}\sum\frac{1}{a}$
Quay lại bài toán:
$P=\sum\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\ge\sum\frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$
$\Rightarrow 3-P\le 2\sum\frac{b^2+c^2}{a^2+2(b^2+c^2)}=2\sum\frac{b^2+c^2}{\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{3}+2\frac{(b^2+c^2)}{2}}$
$\le\frac{2}{25}(b^2+c^2)\sum(\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{b^2+c^2})$
$=\frac{2}{25}(9\sum\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+12)=\frac{60}{25}=\frac{12}{5}$
Từ đó suy ra: $P\ge\frac{3}{5}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Duong: 25-09-2016 - 19:54
"Và tôi vẫn còn yêu em..."
Dễ dàng chứng minh:
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge25$
Hay:
$\frac{1}{\sum a}\le\sum\frac{1}{25}\sum\frac{1}{a}$
Quay lại bài toán:
$P=\sum\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\ge\sum\frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$
$\Rightarrow 3-P\le 2\sum\frac{b^2+c^2}{a^2+2(b^2+c^2)}=2\sum\frac{b^2+c^2}{\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{3}+2\frac{(b^2+c^2)}{2}}$
$\le\frac{2}{25}(b^2+c^2)\sum(\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{b^2+c^2})$
$=\frac{2}{25}(9\sum\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+12)=\frac{60}{25}=\frac{12}{5}$
Từ đó suy ra: $P\le\frac{3}{5}$
Sửa lại tí
Sửa lại tí
đã sửa, mình hơi nhầm tí
"Và tôi vẫn còn yêu em..."
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh