Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho:
$(x^2+y^2)^{2014}=(xy)^{2015}$.
Tìm $x,y \in \mathbb{N^{*}}$: $(x^2+y^2)^{2014}=(xy)^{2015}$
Bắt đầu bởi Baoriven, 26-09-2016 - 20:45
#1
Đã gửi 26-09-2016 - 20:45
Baoriven
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 1423 Bài viết
Thượng úy
- dat9adst20152016 yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#2
Đã gửi 26-09-2016 - 21:15
tpdtthltvp
-
- Điều hành viên THCS
-
- 831 Bài viết
Trung úy
Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho:
$(x^2+y^2)^{2014}=(xy)^{2015}$.
Ta có: $(x^2+y^2)^{2014}=(xy)^{2015}\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2014}=xy$
Do $xy\in \mathbb{N}^*$ và $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\in \mathbb{Q}$ suy ra $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\in \mathbb{N}^*(1).$
Đặt $d=\gcd(x,y)\Rightarrow x=dx_1;y=dy_1\left ( \text{với }(x_1,y_1)=1 \right )$
Suy ra $(1)\Leftrightarrow \frac{x_1}{y_1}+\frac{y_1}{x_1}\in \mathbb{N}*\Rightarrow x_1y_1|x_1^2+y_1^2.$ Do đó $x_1|y_1^2$ mà $\gcd(x_1,y_1)=1$ nên $x_1|y_1.$
Tương tự ta được $y_1|x_1.$ Do đó $x_1=y_1\Rightarrow x=y\Rightarrow 2^{2014}x^{4028}=x^{4030}\Leftrightarrow x^2=2^{2014}\Rightarrow x=2^{1007}$
Vậy $x=y=2^{1007}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 26-09-2016 - 21:18
- chanhquocnghiem, tritanngo99, Element hero Neos và 1 người khác yêu thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
