Cho đường tròn $(C_1):x^2+y^2=25$, điểm $M(1;-2)$. Đường tròn $(C2)$ có bán kính bằng $2\sqrt{10}$. Tìm tọa độ tâm của $(C_2)$ sao cho $(C_2)$ cắt $(C_1)$ theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất.
Tìm tọa độ tâm của $(C_2)$ cắt $(C_1)$ theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất.
Bắt đầu bởi Truong Gia Bao, 26-09-2016 - 21:13
#1
Đã gửi 26-09-2016 - 21:13
Truong Gia Bao
-
- Điều hành viên THPT
-
- 511 Bài viết
Thiếu úy
"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."
#2
Đã gửi 26-09-2016 - 23:22
halloffame
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 522 Bài viết
Thiếu úy
Gọi $C_1,C_2$ tâm $(C_1),(C_2).$ Cách xác định điểm $C_2:$
B1: Tìm tọa độ $C_1.$
B2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $MC_1.$
B3: Tìm tọa độ $P,Q$ là giao điểm của $d,(C_1).$
B4: $C_2$ sẽ là điểm cách $P,Q$ cùng 1 đoạn bằng $2 \sqrt{10}.$ Có hai điểm $C_2$ như vậy.
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
#3
Đã gửi 27-09-2016 - 19:12
Truong Gia Bao
-
- Điều hành viên THPT
-
- 511 Bài viết
Thiếu úy
Gọi $C_1,C_2$ tâm $(C_1),(C_2).$ Cách xác định điểm $C_2:$
B1: Tìm tọa độ $C_1.$
B2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $MC_1.$
B3: Tìm tọa độ $P,Q$ là giao điểm của $d,(C_1).$
B4: $C_2$ sẽ là điểm cách $P,Q$ cùng 1 đoạn bằng $2 \sqrt{10}.$ Có hai điểm $C_2$ như vậy.
Mình cũng biết vậy rồi nhưng vấn đề là chứng minh cho M nằm trên đường nối tâm thì cung có độ dài ngắn nhất. Bạn ạ?
"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."
#4
Đã gửi 27-09-2016 - 19:35
halloffame
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 522 Bài viết
Thiếu úy
Mình cũng biết vậy rồi nhưng vấn đề là chứng minh cho M nằm trên đường nối tâm thì cung có độ dài ngắn nhất. Bạn ạ?
Như vậy ta phải chứng minh một bổ đề nhỏ như sau:
Bổ đề: Cho $(O),M$ là một điểm nằm trong $(O).$ Chứng minh rằng trong các dây cung của $(O)$ mà đi qua $M,$ dây cung có độ dài ngắn nhất chính là dây cung vuông góc với $OM.$
Chứng minh: Gọi $AB$ là dây cung của $(O)$ đi qua $M$ và vuông góc $OM.$ Hiển nhiên $M$ là trung điểm $AB.$
Gọi $A'B'$ là một dây cung khác $AB$ của $(O)$ đi qua $M.$ Gọi $M'$ là trung điểm $A'B'$ thì $OM' \perp A'B'.$
Xét $\Delta OM'M$ vuông tại $M' \Rightarrow OM>OM' \Rightarrow AB=2AM=2. \sqrt{OA^2-OM^2}<2. \sqrt{OA'^2-OM'^2}=2A'M'=A'B'.$
Vậy mọi dây cung của $(O)$ đi qua $M$ khác $AB$ đều dài hơn $AB,$ suy ra $AB$ là dây cung của $(O)$ đi qua $M$ có độ dài ngắn nhất. Ta hoàn tất chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-09-2016 - 19:35
- Truong Gia Bao và thang1308 thích
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
