Tìm tất cả các bộ ngiệm nguyên $(a,b,c,d)$ thõa mãn:
$a^2+7b^2=3c^2+2cd+5d^2$
Tìm tất cả các bộ ngiệm nguyên $(a,b,c,d)$ thõa mãn:
$a^2+7b^2=3c^2+2cd+5d^2$
Biến đổi phương trình về thành $3a^2-x^2=7(2d^2-3b^2),x=3c+d$
Một số chính phương chia $7$ thì nhận số dư là $0,1,2,4$ mà $7|3a^2-x^2$ nên $7|a,7|x$
Suy ra $7|2d^2-3b^2$ tương tự ta cũng có $7|d,7|b$ . Giả sử phương trình có nghiệm khác $(0,0,0,0)$
Đặt $a_1,b_1,x_1,d_1$ là nghiệm có $|a_1|+..+|d_1|$ nhỏ nhất ,tương tự ta cũng có $7|a_1,..,7|d_1$ hay $a_2=\frac{a_1}{7},...,d_2=\frac{d_1}{7}$ cũng là nghiệm của phương trình . Điều này dẫn đến vô lí vì $|a_1|+..+|d_1|>|a_2|+...+|d_2|$ . Do đó $a=b=c=d=0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh