Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $AA'$,$BB'$,$CC'$ đồng quy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nh0znoisung

nh0znoisung

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Trên các cạnh của tam giác nhọn $ABC$ dựng về bên ngoài các tam giác đều $ABC'$,$BCA'$,$CAB'$.Chứng minh $AA'$,$BB'$,$CC'$ đồng quy .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nh0znoisung: 28-09-2016 - 10:47


#2
Kagome

Kagome

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

Gọi $D$ là giao điểm của $BB',CC'$

$\triangle AC'C = \triangle ABB' ( c.g.c)$

$\angle AC'D = \angle ABD \Rightarrow AC'BD$ nội tiếp $\Rightarrow \angle ADB = 120^{\circ}$

CM tương tự $\angle ADC = 120^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BDC = 120^{\circ} \Rightarrow \angle DBC + \angle DCB = 60^{\circ}$

Kẻ $A'E \bot BB', A'F \bot CC'$

$\angle EBA' + \angle DBA' =180^{\circ}$ ( $B',B,E$ thẳng hàng ) (1)

$\angle A'CF + \angle DBA' = \angle A'CB + \angle DCB + \angle DBC + \angle CBA' = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$ (2)

( $\angle CBA' = \angle BCA' = 60^{\circ}$ do tam giác đều )

$(1)(2) \Rightarrow \angle EBA' = \angle A'CF$

$\triangle EA'B = \triangle FA'C$ ( cạnh huyền góc nhọn )

$\Rightarrow A'E = A'F \Rightarrow DA'$ là phân giác $\angle BDC \Rightarrow \angle A'DC = 60^{\circ}$

$\angle ADA' = \angle ADC + \angle CDA' = 120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow A,D,A'$ thẳng hàng 

$\Rightarrow đ.p.c.m$

bbbb1.png



#3
Kagome

Kagome

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

Trên các cạnh của tam giác nhọn $ABC$ dựng về bên ngoài các tam giác đều $ABC'$,$BCA'$,$CAB'$.Chứng minh $AA'$,$BB'$,$CC'$ đồng quy .

$AC'BD$ nội tiếp đường tròn $\Rightarrow C'D$ là phân giác $\angle ADB$

CM tương tự $B'D, A'D$ là phân giác $\angle ADC, \angle BDC$

Gọi I,H,K là giao của CC' với AB, BB' với AC, AA' với BC

Do tính chất tia phân giác $\frac{IA}{IB}=\frac{DA}{DB}, \frac{HA}{HC}=\frac{DA}{DC}, \frac{IB}{IC}=\frac{DB}{DC}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh