26/ Cho a,b,c>0. CMR: $\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a+c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a+b}}>\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanh7a2002123: 27-09-2016 - 12:19
$\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a+c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a+b}}>\frac{3\sqrt[3]{2}
Bắt đầu bởi hanh7a2002123, 27-09-2016 - 12:16
#1
Đã gửi 27-09-2016 - 12:16
hanh7a2002123
-
- Thành viên
-
- 43 Bài viết
Binh nhất
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.
#2
Đã gửi 27-09-2016 - 18:02
dat9adst20152016
-
- Thành viên
-
- 174 Bài viết
Trung sĩ
26/ Cho a,b,c>0. CMR: $\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a+c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a+b}}>\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.
Bài làm:
Áp dụng Cauchy cho 3 số dương ta có: $\sqrt[3]{\frac{b+c}{a}}\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\leq \frac{\frac{b+c}{a}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{3}\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{b+c}{a}}\leq \frac{\sqrt[3]{4}\cdot (a+b+c)}{3a}\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{3a}{\sqrt[3]{4}\cdot (a+b+c)}$
Chứng minh tương tự rồi cộng lại theo vế có:
$\Sigma \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{4}\cdot (a+b+c)}= \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
Dấu = xảy ra khi:$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b+c}= \frac{1}{2} & & \\ \frac{b}{c+a}=\frac{1}{2} & & \\ \frac{c}{a+b}= \frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c$
Thay a=b=c vào đề ta có:$\Sigma \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt[3]{4}}{2}\neq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
Do đó dấu = không xảy ra$\Rightarrow$Q.E.D
- hanh7a2002123 và Minh Hieu Hoang thích
Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta.
-G. Polya-
#3
Đã gửi 27-09-2016 - 19:12
hanh7a2002123
-
- Thành viên
-
- 43 Bài viết
Binh nhất
Do đó dấu = không xảy ra$\Rightarrow$Q.E.D
a cho e hỏi cái Q.E.D là gì thế 
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.
#4
Đã gửi 27-09-2016 - 19:37
dat9adst20152016
-
- Thành viên
-
- 174 Bài viết
Trung sĩ
a cho e hỏi cái Q.E.D là gì thế
À cái đó là điều phải chứng minh 
Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta.
-G. Polya-
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
