Chủ đề này có 2 trả lời

[tay du ki]

chứng minh tích 8 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tay du ki: 27-09-2016 - 18:43

[Hai2003]

Có một ngoại lệ là $0\times1\times2\times3\times4\times5\times6\times7=0$ là số chính phương.

Trong trường hợp số bé nhất lớn hơn $0$, đặt $n$ là số bé nhất $n\in \mathbb{N}^*$. Khi ấy, tích 8 số tự nhiên liên tiếp là

$A = n(n+7)(n+1)(n+6)(n+2)(n+5)(n+3)(n+4)\\ A=(n^2+7n)(n^2+7n+6)(n^2+7n+10)(n^2+7n+12)$

 

Đặt $a=n^2+7n+7$ thì $A = (a-7)(a-1)(a+3)(a+5)\\ A=(a^2-8a+7)(a^2-8a+15)=(a^2-8a+11)^2-16$

Ta chứng minh với những điều kiện trên thì

$(a^2-8a+11)^2-16>(a^2-8a+10)^2 \Leftrightarrow (a^2-8a+11)^2-(a^2-8a+10)^2>16 \Leftrightarrow 2(a-4)^2>27$

Thế lại vào thì $2(n^2+7n+3)^2>27$. Mà $n\geq 1$ nên $n^2+7n+3\geq 11\implies 2(n^2+7n+3)^2\geq 242>27$

 

Như vậy $(a^2-8a+10)^2<A<(a^2-8a+11)^2$ với $a=n^2+7n+7$ nên $A$ không là số chính phương.

[Hungpro123]

$A = (a-7)(a-1)(a+3)(a+5)\\ A=(a^2-8a+7)(a^2-8a+15)=(a^2-8a+11)^2-16$

Sai rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hungpro123: 24-05-2019 - 13:13