Cho a,b,c >0; a+b+c=1. CMR:
$\frac{9}{10} \leq \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}$
Cho a,b,c >0; a+b+c=1. CMR:
$\frac{9}{10} \leq \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}$
Cho a,b,c >0; a+b+c=1. CMR:
$\frac{9}{10} \leq \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}$
Ta có:
\[P = \sum {\frac{{{a^2}}}{{a + abc}}} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c + 3abc}} = \frac{1}{{1 + 3abc}}\]
Mà
\[1 + 3abc \leqslant 1 + \frac{1}{9}{\left( {a + b + c} \right)^3} = \frac{{10}}{9}\]
Suy ra:
\[\frac{a}{{1 + bc}} + \frac{b}{{1 + ac}} + \frac{c}{{1 + ab}} \geqslant \frac{9}{{10}}\]
Ta có: $\frac{a}{1+bc}\geq \frac{4a}{4+(1-a)^2}$
Do: $bc\leq \frac{(b+c)^2}{4}=\frac{(1-a)^2}{4}$.
Mặt khác ta có đánh giá sau: $\frac{4a}{4+(1-a)^2}\geq 0,99a-0,03\Leftrightarrow (3a-1)^2(11a-15)\leq 0$.
BDT cuối đúng vì $a> 0$ và $a+b+c=1$.
Từ đó ta có đpcm nhờ chứng minh tương tự và cộng vế theo vế.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh