Chủ đề này có 2 trả lời

[vsatmss]

Cho a,b,c >0; a+b+c=1. CMR: 

$\frac{9}{10} \leq \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}$

[hanguyen445]

Cho a,b,c >0; a+b+c=1. CMR: 

$\frac{9}{10} \leq \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}$

Ta có:

\[P = \sum {\frac{{{a^2}}}{{a + abc}}}  \geqslant \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c + 3abc}} = \frac{1}{{1 + 3abc}}\]

Mà 

\[1 + 3abc \leqslant 1 + \frac{1}{9}{\left( {a + b + c} \right)^3} = \frac{{10}}{9}\]

Suy ra:

\[\frac{a}{{1 + bc}} + \frac{b}{{1 + ac}} + \frac{c}{{1 + ab}} \geqslant \frac{9}{{10}}\]

[Baoriven]

Ta có: $\frac{a}{1+bc}\geq \frac{4a}{4+(1-a)^2}$ 

Do: $bc\leq \frac{(b+c)^2}{4}=\frac{(1-a)^2}{4}$.

Mặt khác ta có đánh giá sau: $\frac{4a}{4+(1-a)^2}\geq 0,99a-0,03\Leftrightarrow (3a-1)^2(11a-15)\leq 0$.

BDT cuối đúng vì $a> 0$ và $a+b+c=1$.

Từ đó ta có đpcm nhờ chứng minh tương tự và cộng vế theo vế.