Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$\left\{\begin{matrix} u_1=\frac{2}{2013}\\u_n^2(2-9u_{n+1})=2u_{n+1}(2-5u_n),\forall n\ge 1 \end{matrix}\right.$
Xét dãy số: $v_n=\frac{u_1}{1-u_1}+\frac{u_2}{1-u_2}+...+\frac{u_n}{1-u_n}$.Tìm $lim(v_n).$

[superpower]

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$\left\{\begin{matrix} u_1=\frac{2}{2013}\\u_n^2(2-9u_{n+1})=2u_{n+1}(2-5u_n),\forall n\ge 1 \end{matrix}\right.$
Xét dãy số: $v_n=\frac{u_1}{1-u_1}+\frac{u_2}{1-u_2}+...+\frac{u_n}{1-u_n}$.Tìm $lim(v_n).$

Ta có $u_{n+1} = \frac{2u_n^2}{9u_n^2-10u_n+4} $

Quy nạp ta được $u_n \leq \frac{2}{3} $

Mà ta có được là $f'(u_n) >0 <=> 16u_n > 20u_n ^2 $ đúng

Do đó $f(u_n) $ đồng biến có $u_2< u_1 $ nên $u_n $ giảm

Bị chặn dưới bởi $0$ chuyển sang giới hạn suy ra $Lim u_n =0 $

Biến đổi thì ta ra được là $\frac{u_i}{1-u_1}= \frac{-4(u_{i+1} -u_i)}{(3u_i-2)(3u_{i+1} -2 ) } $  

Hay là $\frac{u_i}{1-u_i} = \frac{4}{9u_{i+1}-6} - \frac{4}{9u_i -6} $ 

Do đó cộng hết lại, ta được 

$v_n =\frac{4}{9u_{n+1} -6} - \frac{4}{9u_1-6} $ 

Do đó thay vào lại ta tính đc $lim v_n =\frac{1}{2005} $