Chủ đề này có 2 trả lời

[Element hero Neos]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm min $P=\frac{a^2+b^2}{b+c}+\frac{b^2+c^2}{c+a}+\frac{c^2+a^2}{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 28-09-2016 - 20:45

[baopbc]

Lời giải. (Hi vọng không nhầm lẫn)

Ta có : $\frac{a^2+b^2}{b+c}=\frac{1-c^2}{b+c}=\frac{1+bc-bc-c^2}{b+c}=\frac{1+bc}{b+c}-c$

Thiết lập các đẳng thức còn lại ta được :

$P=\sum \frac{1+bc}{b+c}-(a+b+c)=\sum\frac{a^2+\frac{1}{2}(b^2+c^2)+\frac{1}{2}(b+c)^2}{b+c}-(a+b+c)=\frac{1}{2}\sum \frac{a^2+1}{b+c}$

Theo bất đẳng thức Cauchy thì $a^2+1=a^2+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\geq \frac{2a}{\sqrt{3}}+\frac{2}{3}=\frac{2a\sqrt{3}+2}{3}$

$\implies P\geq \frac{1}{2}\sum \frac{2a\sqrt{3}+2}{3(b+c)}\geq \sum \frac{a\sqrt{3}+1}{3(b+c)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2(a+b+c)}\geq \sqrt{3}$ (Theo Nesbit)

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

[Element hero Neos]

Lời giải. (Hi vọng không nhầm lẫn)

Ta có : $\frac{a^2+b^2}{b+c}=\frac{1-c^2}{b+c}=\frac{1+bc-bc-c^2}{b+c}=\frac{1+bc}{b+c}-c$

Thiết lập các đẳng thức còn lại ta được :

$P=\sum \frac{1+bc}{b+c}-(a+b+c)=\sum\frac{a^2+\frac{1}{2}(b^2+c^2)+\frac{1}{2}(b+c)^2}{b+c}-(a+b+c)=\frac{1}{2}\sum \frac{a^2+1}{b+c}$

Theo bất đẳng thức Cauchy thì $a^2+1=a^2+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\geq \frac{2a}{\sqrt{3}}+\frac{2}{3}=\frac{2a\sqrt{3}+2}{3}$

$\implies P\geq \frac{1}{2}\sum \frac{2a\sqrt{3}+2}{3(b+c)}\geq \sum \frac{a\sqrt{3}+1}{3(b+c)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2(a+b+c)}\geq \sqrt{3}$ (Theo Nesbit)

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Một cách giải khác

Ta có

$\sum\frac{a^2+b^2}{b+c}=\sum\frac{1}{b+c}-\sum\frac{b^2}{b+c}$

Ta lại có

$\sum\frac{b^2}{b+c}-\sum\frac{c^2}{b+c}=\sum(b-c)=0$

$\Rightarrow \sum\frac{b^2}{b+c}=\frac{1}{2}\sum\frac{b^2+c^2}{b+c}$

Không mất tính tổng quát, giả sử

$a\geq b\geq c$

Do đó ta có hai dãy sau

$\left\{\begin{matrix} b^2+c^2\leq a^2+c^2\leq a^2+b^2 \\ \frac{1}{b+c}\geq\frac{1}{a+c}\geq\frac{1}{a+b} \end{matrix}\right.$

Áp dụng Chebyshev có

$\sum\frac{b^2+c^2}{b+c}\leq\frac{1}{3}(2.\sum a^2)(\sum\frac{1}{a+b})=\frac{2}{3}\sum\frac{1}{a+b}$

Do đó có

$P\geq\frac{2}{3}\sum\frac{1}{a+b}\geq\frac{3}{\sum a}\geq\frac{3}{\sqrt{3(\sum a^2)}}=\sqrt{3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi

$a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy ...