Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Black Pearl

Black Pearl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết

1.Cho a,b>1.CMR $\frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}+\sqrt{3ab+4}\geq \frac{11}{2}$

2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

CMR: $\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\geq 1$

3.Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\sum \frac{2a^2}{a+b^2}\geq a+b+c$

4.Cho $x,y,z>0$. CMR $\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$

5. Cho $a,b,c>0$ Tìm GTNN $A=\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c}{4a}$

6.Cho $x,y>0$ Tìm GTNN 

$A=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(2y+x)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(x+2y)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

7. Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=3abc$

CNR $\sum \frac{1}{\sqrt{a^3+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$


-Huyensonenguyen-


#2
Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

1/ Ta có : $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab\Rightarrow \frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}\geq \frac{6}{ab}$

 Đặt $\sqrt{3ab+4}=t\Rightarrow ab=\frac{t^{2}-4}{3}$ với $t>\sqrt{7}$    $\Rightarrow LHS=\frac{18}{t^{2}-4}+t=\frac{11}{2}+\frac{\left ( 2t+5 \right )\left ( t-4 \right )^{2}}{2\left ( t^{2}-4 \right )}\geqslant \frac{11}{2}$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=2$



#3
Black Pearl

Black Pearl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết

1/ Ta có : $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab\Rightarrow \frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}\geq \frac{6}{ab}$

 Đặt $\sqrt{3ab+4}=t\Rightarrow ab=\frac{t^{2}-4}{3}$ với $t>\sqrt{7}$    $\Rightarrow LHS=\frac{18}{t^{2}-4}+t=\frac{11}{2}+\frac{\left ( 2t+5 \right )\left ( t-4 \right )^{2}}{2\left ( t^{2}-4 \right )}\geqslant \frac{11}{2}$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=2$LHS là gì vậy b


-Huyensonenguyen-


#4
Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

2/ Ta có : $\frac{1}{8x^{2}+1}-\frac{2}{x+1}+1\geq 0\Leftrightarrow \frac{2x\left ( 2x-1 \right )^{2}}{\left ( 8x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )}\geq 0$ 

 Tương tự với $b,c$ $\Rightarrow \sum \frac{1}{8x^{2}+1}\geq 2\sum \frac{1}{x+1}-3=1$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

 3/ Ta có : $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}=2a-\frac{2ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 2a-b\sqrt{a}\geq 2a-\frac{b+ab}{2}$

Tương tự $\Rightarrow \sum \frac{2a^{2}}{a+b^{2}}\geq \frac{3}{2}\sum a-\frac{1}{2}\sum ab\geq \frac{3}{2}\sum a -\frac{1}{6}\left ( a+b+c \right )^{2}=\frac{1}{2}\left ( 3-\sum a \right )\sum a +\sum a\geq a+b+c$

 Do $a+b+c\geq 3$

  Đẳng thức xay ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 5/  Ta có : $\frac{a^{2}}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{b^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}}=\frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )}+\frac{1}{\left ( 1+y \right )^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\Leftrightarrow \frac{\left ( x-y \right )^{2}}{\left ( 1+x \right )^{2}\left ( 1+y \right )^{2}}\geq 0$

 với $x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{b}\Rightarrow xy=\frac{c}{a}$

$\Rightarrow A\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{xy}{4}=\frac{3}{4}+\frac{\left ( xy -1\right )^{2}}{4\left ( 1+xy \right )}\geq \frac{3}{4}$

 Đẳng thức xay ra $\Leftrightarrow a=b=c$

6/ Ta có : $\frac{2}{\sqrt{\left ( 2x+y \right )^{3}+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left ( 2y+x \right )^{3}+1}-1}\geq \frac{4}{\left ( 2x+y \right )^{2}}+\frac{4}{\left ( 2y+x \right )^{2}}$

Do $\sqrt{a^{3}+1}=\sqrt{\left ( a+1 \right )\left ( a^{2}-a+1 \right )}\leq \frac{a^{2}+2}{2}$

$\Rightarrow A\geq \frac{4}{\left ( 2x+y \right )^{2}}+\frac{4}{\left ( 2y+x \right )^{2}}+\frac{\left ( 2y+x \right )\left ( 2x+y \right )}{4}-\frac{8}{\left ( 2x+y \right )+\left ( 2y+x \right )}$

   $\geq \frac{4}{(2x+y)(2y+x)}+\frac{16}{\left ( 2x+y+2y+x \right )^{2}}+\frac{(2x+y)(2y+x)}{4}-\frac{8}{2x+y+2y+x}\geq 1$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 29-09-2016 - 13:18


#5
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

1.Cho a,b>1.CMR $\frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}+\sqrt{3ab+4}\geq \frac{11}{2}$

2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

CMR: $\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\geq 1$

3.Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\sum \frac{2a^2}{a+b^2}\geq a+b+c$

4.Cho $x,y,z>0$. CMR $\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$

5. Cho $a,b,c>0$ Tìm GTNN $A=\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c}{4a}$

6.Cho $x,y>0$ Tìm GTNN 

$A=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(2y+x)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(x+2y)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

7. Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=3abc$

CNR $\sum \frac{1}{\sqrt{a^3+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

4 :

Áp dụng AM-GM : $\frac{\sum x^{2}}{\sum xy}\geq 1$
-> Ta CM : $\sum \frac{xy}{x^{2}+xy+yz} \leq 1$
$\Leftrightarrow  \sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy}+\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq 2$
Áp dụng C-S :  $\sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy} \geq  \frac{(\sum xy)^{2}}{\sum x^{2}y^{2}+2xyz(x+y+z)}=1$
                      $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq  \frac{(x+y+z)^{2}}{\sum (x^{2}+xy+yz)}=1 $
$\rightarrow  (đpcm)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$


Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh