Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Cho $a,b,c> 0$ và $(a+b+c)^2\le 4-(a^2+b^2+c^2)$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}$

[baopbc]

Bài này là USAMO 2011, xin trích dẫn lại lời giải của một thành viên trên AoPS.

Lời giải

Ta có : $4\geq a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\implies 2\geq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca.$

Do đó \[\begin{aligned}\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2} & =\frac{2ab+2}{2(a+b)^2}+\frac{2bc+2}{2(b+c)^2}+\frac{2ca+2}{2(c+a)^2}\\ & \geq \sum\frac{2ab+\sum a^2+\sum ab}{2(a+b)^2}\\ & =\sum \frac{(a+b)^2+(c+a)(c+b)}{2(a+b)^2}\\ & =\sum\left(\frac{1}{2}+\frac{(a+c)(c+b)}{2(a+b)^2}\right)\\ & =\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left(\sum \frac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^2}\right)\\ & \geq \frac{3}{2}+\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\prod\frac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^2}}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3. \end{aligned}\]