Đến nội dung

Hình ảnh

$D,E,F$ thẳng hàng

- - - - - hình học inex 2016

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ với $H$ là trực tâm tam giác, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

$D,E,F$ là điểm đối xứng của $A,B,C$ qua $BC,CA,AB$.

Chứng minh $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OH=2R$.


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#2
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Gọi $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Phép vị tự tâm $G$ tỉ số $\frac{-1}{2}$ biến $A$ thành $A'$, $B$ thành $B'$, $C$ thành $C'$

Do đó phép vị tự này biến $D$ đối xứng với $A$ qua $BC$ thành $D'$ đối xứng với $A'$ qua $B'C'$, tương tự cho $E,F$

Để ý là $OA'\perp BC$ nên $D'$ là giao điểm của $OA'$ với đường thẳng qua $A$ song song $BC$

Ta kéo dài các đường thẳng qua $A,B,C$ lần lượt song song với $BC,CA,AB$ cắt nhau tạo thành tam giác $MNP$, khi đó $D',E',F'$ lần lượt là hình chiếu của $O$ lên $NP,PM,MN$

Mà $D,E,F$ thẳng hàng $\Leftrightarrow D',E',F'$ thẳng hàng $\Leftrightarrow O \in (MNP)$ (Đường thẳng $Simson$)

Để ý $H$ chính là tâm $(MNP)$ nên $OH=2R$


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#3
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ với $H$ là trực tâm tam giác, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

$D,E,F$ là điểm đối xứng của $A,B,C$ qua $BC,CA,AB$.

Chứng minh $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OH=2R$.

Bài này là bài mà Thày Lê Bá Khánh Trình được giải thưởng đặc biệt cho lời giải độc đáo.


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#4
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

Bài này là bài mà Thày Lê Bá Khánh Trình được giải thưởng đặc biệt cho lời giải độc đáo.

bài toán này mình lấy ở một đề dự bị Duyên hải của trường CBG. Nhưng mà trong lời giải trình bày quá khó hiểu và cũng không có hình nên không hiểu!

Bạn nào vẽ giúp mình cái hình vào được không?


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#5
mathstu

mathstu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Bài này là bài mà Thày Lê Bá Khánh Trình được giải thưởng đặc biệt cho lời giải độc đáo.

chắc bạn nhầm rồi :) lời giải đặc biệt của thầy Trình không phải là bài này.

 

bài toán này mình lấy ở một đề dự bị Duyên hải của trường CBG. Nhưng mà trong lời giải trình bày quá khó hiểu và cũng không có hình nên không hiểu!

Bạn nào vẽ giúp mình cái hình vào được không?

bài này hình như có trong đề thi hsg của Anh hay Nhật gì í. Tao không nhớ rõ nữa

Lời giải sử dụng phép vị tự như bác Hoang Nhat Tuan đã nói rồi.


Họ cười tôi vì tôi khác họ    

             

             Tôi cười họ vì tôi mắc cười    >:)  >:)  >:) 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, inex, 2016

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh