với x,y,z>0, x+y+z=3 chứng minh
$\sum \frac{x^2-1}{2x^2-4x+3}$$\geqslant 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovezu123: 28-09-2016 - 22:49
với x,y,z>0, x+y+z=3 chứng minh
$\sum \frac{x^2-1}{2x^2-4x+3}$$\geqslant 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovezu123: 28-09-2016 - 22:49
Ta có : $\frac{x^{2}-1}{2x^{2}-4x+3}+\frac{1}{2}=\frac{\left ( 2x-1 \right )^{2}}{2\left (2x^{2}-4x+3 \right )}$
Từ đó ta viết lại bất đẳng thức thành :
$\frac{\left ( 2x-1\right )^{2}}{2x^{2}-4x+3}+\frac{\left ( 2y-1\right )^{2}}{2y^{2}-4y+3}+\frac{\left ( 2z-1\right )^{2}}{2z^{2}-4z+3}\geq 3$
Áp dụng BĐT $ Cauchy - Schwarz$ , ta có :
$\frac{\left ( 2x-1 \right )^{2}}{2x^{2}-4x+3}+\frac{\left ( 2y-1 \right )^{2}}{2y^{2}-4y+3}\geq \frac{4\left ( 2-z \right )^{2}}{\left ( 2x^{2}-4x+3 \right )+\left ( 2y^{2}-4y+3 \right )} $
Ta sẽ chứng minh : $\frac{4\left ( 2-z \right )^{2}}{\left ( 2x^{2}-4x+3 \right )+\left (2y^{2}-4y+3 \right )}+\frac{\left ( 2z-1 \right )^{2}}{2z^{2}-4z+3}\geq 3$
$\Leftrightarrow\frac{4\left ( 2-z \right )^{2}}{\left ( 2x^{2}-4x+3 \right )+\left ( 2y^{2}-4y+3 \right )} \geq \frac{2\left ( 2-z \right )^{2}}{2z^{2}-4z+3}\Leftrightarrow 2\left (2z^{2}-4z+3 \right )\geq \left ( 2x^{2}-4x+3 \right )+\left ( 2y^{2}-4y+3 \right )$
Làm tương tự với $x,y$
Lại có : $\sum \left [ 2\left (2z^{2}-4z+3 \right )- \left ( 2x^{2}-4x+3 \right )-\left ( 2y^{2}-4y+3 \right ) \right ]=0$
Điều này dẫn tới luôn tồn tại 1 BĐT đúng
Từ ta có $Q.E.D$ . Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh