Chủ đề này có 1 trả lời

[basketball123]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $0<x\leq y\leq z$

Tìm GTLN của $P=xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}-xyz-\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{6}$

[leminhnghiatt]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $0<x\leq y\leq z$

Tìm GTLN của $P=xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}-xyz-\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{6}$

 

Đây là đề Phú Thọ năm ngoái 

 

Ta có: $xy^2+yz^2+zx^2-xyz=yz^2-xyz+(x^2z+xy^2) \ (1)$

 

Ta lại có: $x(x-y)(y-z) \geq 0 \iff x^2y-x^2z-xy^2+xyz \geq 0 \iff x^2z+xy^2 \leq x^2y+xyz$

 

$\rightarrow xy^2+yz^2+zx^2-xyz \leq yz^2-xyz+x^2y+xyz=yz^2+x^2y=y(z^2+x^2)$

 

Ta có: $[y(z^2+x^2)]^2=\dfrac{1}{2}.2y^2(x^2+z^2)(x^2+z^2) \leq \dfrac{(2x^2+2y^2+2z^2)^3}{2.27}=\dfrac{4(x^2+y^2+z^2)^3}{27}$

 

$\rightarrow xy^2+yz^2+zx^2-xyz \leq y(z^2+x^2) \leq 2\sqrt{\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^3}{27}}$

 

Vậy $P \leq \sqrt{\dfrac{4(x^2+y^2+z^2)^3}{27}}-\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{6}$

 

Xét $f(x)=VP$

 

Đặt $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a$

 

Thay vào ta có: $f(a)=\dfrac{2a^3}{3\sqrt{3}}-\dfrac{a^4}{6}$

 

Có $f'(a)=\dfrac{2a^2}{\sqrt{3}}-\dfrac{2a^3}{3}=\dfrac{a^2(\sqrt{3}-a)}{3}$

 

Xét bảng biến thiên sẽ thấy tại $a=\sqrt{3}$ thì hàm đạt GTLN

 

Tại $a=\sqrt{3} \rightarrow P \leq \dfrac{1}{2}$

 

Max $P=\dfrac{1}{2}$. Dấu "=" $\iff x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 29-09-2016 - 20:34