Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của $P=a+b+c+\frac{1}{abc}+\frac{9}{a+b+c}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ca$. Tìm GTNN của biểu thức

$$P=a+b+c+\frac{1}{abc}+\frac{9}{a+b+c}$$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#2
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ca$. Tìm GTNN của biểu thức

$$P=a+b+c+\frac{1}{abc}+\frac{9}{a+b+c}$$

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c $

Từ đầu bài suy ra được là $\sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{a} $

Thay vô lại còn bđt 2 biến thôi

Rồi sau đó S,P là ra



#3
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c $

Từ đầu bài suy ra được là $\sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{a} $

Thay vô lại còn bđt 2 biến thôi

Rồi sau đó S,P là ra

Ý tưởng của bạn rất hay nhưng bạn lại không giải bài toán cho rõ ràng, mình mong bạn nên xem xét lại điều này. Nếu bạn còn vi phạm nữa thì buộc mình phải nhắc nhở bạn lỗi spam thôi. Hãy cùng nhau xây dựng một $VMF$ phát triển nhé  :D  :lol:

 

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ca$. Tìm GTNN của biểu thức

$$P=a+b+c+\frac{1}{abc}+\frac{9}{a+b+c}$$

 

Một lời giải theo hướng khác của mình:

 

Biến đổi giả thiết trở thành: $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+b+c}=x & & \\ \frac{b}{a+b+c}=y & & \\ \frac{c}{a+b+c}=z & & \end{matrix}\right.$, ta có:

 

$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4} & \end{matrix}\right.$$

 

Ta sẽ tìm $GTLN$ của $xyz$. Ta có:

 

$xyz=z\left [ \frac{1}{4}-z\left ( x+y \right ) \right ]=z\left ( z^{2}-z+\frac{1}{4} \right )$

 

Mặt khác: $\frac{1}{4}=xy+yz+zx\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}+z\left ( 1-z \right )=-\frac{3}{4}z^{2}+\frac{1}{2}z+\frac{1}{4}\\\Rightarrow 3z^{2}-2z\leq 0\Rightarrow z\in \left [0;\frac{2}{3} \right ]$ 

 

Xét hàm số $f(z)=z\left ( z^{2}-z+\frac{1}{4} \right )$ trên $\left [0;\frac{2}{3} \right ]$, ta có: $f\left ( z \right )\leq \frac{1}{54}$

$\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{54}$

$\Rightarrow \frac{abc}{\left ( a+b+c \right )^{3}}\leq \frac{1}{54}\\\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{54}{\left ( a+b+c \right )^{3}}$

 
Khi đó: $P\geq a+b+c+\frac{54}{\left ( a+b+c \right )^{3}}+\frac{9}{a+b+c}$
 
Đặt $a+b+c=t$, ta có: $P\geq t+\frac{9}{t}+\frac{54}{t^{3}}$
 
Khảo sát hàm $f(t)$ trên $(0;+\infty)$, ta được $P\geq 5\sqrt{2}$
 
Vậy $\min P=5\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{\sqrt{2}}{2} & & \\ b=\frac{\sqrt{2}}{2} & & \\ c=2\sqrt{2} & & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 29-09-2016 - 20:06


#4
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c $

Từ đầu bài suy ra được là $\sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{a} $

Thay vô lại còn bđt 2 biến thôi

Rồi sau đó S,P là ra

Bạn trình bày cụ thể được không, mình muốn có nhiều cách giải hay 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#5
tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết

Đây giống như đề thi hsg lớp 11 nghệ an bạn ạ 


      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#6
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Giải tương tự như bài này: http://diendantoanho...bc/#entry649097


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh