Cho $ \bigtriangleup ABC$, $ BC $ cố định, $ A$ di chuyển trên cung lớn $ BC$, các đường cao $ BE, CF$. Gọi $ M, S, N$ lần lượt là trung điểm của $ BF, EF, EC$. Gọi $ K$ là giao điểm của đường thẳng qua $ M$ vuông góc với $ BS$ với đường thẳng qua $ N$ vuông góc với $ CS$. Chứng minh $ K$ di chuyển trên một đường cố định khi $ A$ di chuyển.
Chứng minh $ K$ di chuyển trên một đường cố định khi $ A$ di chuyển.
Bắt đầu bởi anhquannbk, 29-09-2016 - 19:16
#2
Đã gửi 29-09-2016 - 19:41
Gọi $T$ là trung điểm $BC$. Ta có $MS^2-MB^2=\frac{BE^2}{4}-\frac{BF^2}{4}$, tương tự thì $NC^2-NS^2=\frac{CE^2}{4}-\frac{CF^2}{4}$
$\Rightarrow MS^2-MB^2+NC^2-NS^2=\frac{BE^2}{4}-\frac{BF^2}{4}+\frac{CE^2}{4}-\frac{CF^2}{4}=\frac{BC^2}{4}-\frac{BC^2}{4}=0$
Mặt khác do $TB^2-TC^2=0$ nên $MS^2-MB^2+NC^2-NS^2+TB^2-TC^2=0$
Do đó theo định lí $\text{Carnot's}$, $K$ thuộc đường thẳng qua $T$ vuông góc với $BC$. Do đó $K$ di chuyển trên một đường thẳng cố định.
- anhquannbk yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh