Chủ đề này có 1 trả lời

[anhquannbk]

Cho $ \bigtriangleup ABC$, $ BC $ cố định, $ A$ di chuyển trên cung lớn $ BC$, các đường cao $ BE, CF$. Gọi $ M, S, N$ lần lượt là trung điểm của $ BF, EF, EC$. Gọi $ K$ là giao điểm của đường thẳng qua $ M$ vuông góc với $ BS$ với đường thẳng qua $ N$ vuông góc với $ CS$. Chứng minh $ K$ di chuyển trên một đường cố định khi $ A$ di chuyển.

[baopbc]

Gọi $T$ là trung điểm $BC$. Ta có $MS^2-MB^2=\frac{BE^2}{4}-\frac{BF^2}{4}$, tương tự thì $NC^2-NS^2=\frac{CE^2}{4}-\frac{CF^2}{4}$

$\Rightarrow MS^2-MB^2+NC^2-NS^2=\frac{BE^2}{4}-\frac{BF^2}{4}+\frac{CE^2}{4}-\frac{CF^2}{4}=\frac{BC^2}{4}-\frac{BC^2}{4}=0$

Mặt khác do $TB^2-TC^2=0$ nên $MS^2-MB^2+NC^2-NS^2+TB^2-TC^2=0$

Do đó theo định lí $\text{Carnot's}$, $K$ thuộc đường thẳng qua $T$ vuông góc với $BC$. Do đó $K$ di chuyển trên một đường thẳng cố định.