ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA DAK LAK 2016. VÒNG 2
Câu I:
Cho hai số thực không âm $x$ và $y$ thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2=1$.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$A=xy+max\{x,y\}$$
Câu II:
Với mỗi số tự nhiên $n\geq2$, ta xác định $S_n=\sum_{k=1}^{n}kcos\frac{\pi }{k}$. Tìm $\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{S_n}{n^2}$.
Câu III:
Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $BC$, mặt phẳng $(\alpha)$ thay đổi đi qua $MN$ cắt các cạnh $BC$ và $AD$ theo thứ tự tại $E$ và $F$. Tìm giá trị lớn nhất của tứ giác $MENF$.
Câu IV:
Cho tập hợp $X$ có $n$ phần tử $(n\geq1)$. Hãy tìm số các cặp hai tập hợp con khác nhau của $X$ không giao nhau.
$$-----------HẾT-----------$$
Câu IV: Giả sử X là tập gồm n phần tử và A. B là hai tập con tùy ý không giao nhau của tập X. Trong cặp $\alpha =(A,B)$, ta quy định, tập bên trái (A) là tập thứ nhất, tập bên phải (B) là tập thứ hai. Ta tìm tất cả các cặp được tính thứ tự của các tập con thuộc X không giao nhau.
Xét phần tử a tùy ý thuộc tập X. Có ba khả năng xảy ra:
-a thuộc tập thứ nhất ($ a \in A$)
-a thuộc tập thứ hai ($ a \in B$)
- a không thuộc tập thứ nhất cũng như không thuộc tập thứ hai ( $a \not \in A, a \not \in B$)
Như vậy số cặp được sắp thứ tự gồm có các tập con không giao nhau của tập gồm n phần tử sẽ là $3^n$.
Trong số các cặp này có một cặp duy nhất mà hai tập con thuộc nó đều rỗng nên có $3^n-1$ cặp mà mỗi cặp này có ít nhất một tập con khác rỗng.
Đối với cặp $\alpha =(A,B)$ trong $3^n-1$ cặp kể trên, ta đổi chỗ tập con thứ nhất và thứ hai cho nhau sẽ được cặp $\alpha ' =(B,A)$, nhưng về thực chất $\alpha, \alpha'$ cũng chỉ là một cặp thỏa mãn điều kiện $A\cap B \ne \varnothing $. Bởi vậy, ta chỉ có:$\frac{3^n-1}{2}$ cặp khác nhau gồm hai tập con không giao nhau, trong đó có ít nhất một tập con khác rỗng. Ngoài ra cặp gồm hai tập rỗng cũng thỏa mãn điều kiện không giao nhau.
Vậy, số cặp thỏa mãn yêu cầu của đầu bài sẽ là: $\frac{3^n-1}{2}+1=\frac{3^n+1}{2}$
