Chủ đề này có 1 trả lời

[IHateMath]

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}$.

[Namvip]

Ta có 

$\sum a\sqrt{b^{3}+1}=\sum a\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}\leq \sum a(\frac{b^{2}+2}{2})$

$=>P\leq \frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+a+b+c$

Ta sẽ chứng minh bổ đề sau 

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \leq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc$

Giả sử $c \leq b \leq a$ 

$a(b-a)(b-c)\leq 0=> ab^{2} + ca^{2}  \leq abc + ba^{2}$

$=>ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc \leq ba^{2} + 2abc + bc^{2} =b(c+a)^{2} $

$b(c+a)^{2}=4b.\frac{c+a}{2}.\frac{c+a}{2}\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

$=>ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

$=>P\leq \frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+a+b+c=\frac{4}{54}(a+b+c)^{3}+a+b+c=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namvip: 30-09-2016 - 16:09