Chủ đề này có 10 trả lời

[HoangKhanh2002]

PHÒNG GD & ĐT ĐỨC THỌ                   KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

                                                                                    NĂM HỌC 2016 - 2017 

                                                                           Môn thi: TOÁN - LỚP 9. VÒNG 1

                                                                                  Thời gian làm bài: 120 phút 

_____________________________________________________________________

 

Bài 1: a) Tìm m đề $\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$ là một nghiệm của đa thức P(x) = x⁹ - 2017x⁸ + m.

           b) Cho a, b và c là các số thực dương thỏa mãn: 2b = a + c. Chứng minh rằng:   $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$

Bài 2: a) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho $\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ là số nguyên tố.

           b) Cho a và b là các số thực thỏa man a > b > 0 và a³ - a²b + ab² - 6b³ = 0. Tính giá trị của biểu thức: 

$B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}$

Bài 3: Giải các phương trình:

          a) $5x\sqrt{x-3}+8=4\sqrt{x-3}+10x$

          b) $\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}=2$

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. (M không trùng với A và C). Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại D. Chứng minh rằng:

         a) DA.DB = DH.DC

         b) $\widehat{DHA}=\widehat{DBC}$

         c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.

Bài 5: Cho a, b và c là những số thực dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$

Chứng minh rằng: $ab+bc+ca\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 30-09-2016 - 17:55

[Hai2003]

1a) $\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}}=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}=1$

Để $P(x)=x^9-2017x^8+m$ có nghiệm là 1 thì $P(1)=0\implies 1-2017+m=0\implies m=2016$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hai2003: 01-10-2016 - 08:29

[HoangKhanh2002]

Bài 5: Cho a, b và c là những số thực dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$

Chứng minh rằng: $ab+bc+ca\leq 3$

Ta có: $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=2(\frac{ab+bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{b+c}+\frac{ab+bc+ca}{a+c})=2(a+b+c)(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\leq 2(a+b+c)(\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}})=2(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq 2(a+b+c)(a+b+c)\Rightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 3(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

[huyqlht123]

 

 

 

Ta có: $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=2(\frac{ab+bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{b+c}+\frac{ab+bc+ca}{a+c})=2(a+b+c)(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\leq 2(a+b+c)(\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}})=2(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq 2(a+b+c)(a+b+c)\Rightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 3(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Tại sao lại được thế này (a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)2(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyqlht123: 02-10-2016 - 20:17

[HoangKhanh2002]

Tại sao lại được thế này (a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)2(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))

Thay giả thiết $a+b+c=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$

[tienduc]

Ta có: $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$=$2(\frac{ab+bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{b+c}+\frac{ab+bc+ca}{a+c})=2(a+b+c)(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\leq 2(a+b+c)(\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}})=2(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq 2(a+b+c)(a+b+c)\Rightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 3(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Đoạn này hình như sai $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

Theo mình phải như thế này $(a+b+c)(ab+bc+ca)= 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})(ab+bc+ca)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 18-12-2016 - 08:20

[datdo]

Bài 3:

a) ĐK: $x\geq 3$

Đặt $\sqrt{x-3}=a (a\geq 0)$

PT trở thành:

5xa+8=4a+10x 

<=> 5x(a-2)-4(a-2)=0

<=> (5x-4)(a-2)=0

Với 5x-4=0 => $x=\frac{4}{5}$ (loại, do $x\geq 3$)

Với a=2=> $\sqrt{x-3}=2$

<=>x=7(t/m ĐK) 

[datdo]

Ta có: $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=2(\frac{ab+bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{b+c}+\frac{ab+bc+ca}{a+c})=2(a+b+c)(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\leq 2(a+b+c)(\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}})=2(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq 2(a+b+c)(a+b+c)\Rightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 3(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Mình xin sửa lại cho bạn HoangKhanh2002 như sau:   

$(a+b+c)(ab+bc+ca)=(ab+bc+ca)2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=2(\frac{ab+bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{b+c}+\frac{ab+bc+ca}{a+c})=2(a+b+c+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\leq 2(a+b+c+\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}})=2(a+b+c+\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ca}}{2})=2(a+b+c)+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq 2(a+b+c)+(a+b+c)=3(a+b+c)$

=> $ab+bc+ca\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datdo: 26-12-2016 - 23:08

[HoangKhanh2002]

 

Mình xin sửa lại cho bạn HoangKhanh2002 như sau:   

$(a+b+c)(ab+bc+ca)=(ab+bc+ca)2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=2(\frac{ab+bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{b+c}+\frac{ab+bc+ca}{a+c})=2(a+b+c+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\leq 2(a+b+c+\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}})=2(a+b+c+\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ca}}{2})=2(a+b+c)+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq 2(a+b+c)+(a+b+c)=3(a+b+c)$

=> $ab+bc+ca\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1 

 

Chắc mình đánh nhầm vậy thôi. Cảm ơn bạn đã sủa cho mình  

[Dorayaki2212]

1b.

VT-VP=$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}-\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$$

=$$\frac{a-b+c-b}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}$$

=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dorayaki2212: 27-12-2016 - 19:52

[013]

PHÒNG GD & ĐT ĐỨC THỌ                   KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

                                                                                    NĂM HỌC 2016 - 2017 

                                                                           Môn thi: TOÁN - LỚP 9. VÒNG 1

                                                                                  Thời gian làm bài: 120 phút 

________________________________(Trích)_____________________________________

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. (M không trùng với A và C). Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại D. Chứng minh rằng:

         a) DA.DB = DH.DC

         b) $\widehat{DHA}=\widehat{DBC}$

         c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.

a) $\Delta DAC$ đồng dạng với $\Delta DHB$ (gv-gn)

b) $\Delta DAH$ đồng dạng với $\Delta DCB$ (c-g-c)

c) $\Delta CHM$ đồng dạng với $\Delta CAB$ (gv-gn)

    $\Delta BAM$ đồng dạng với $\Delta BHD$ (gv-gn)