Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $\frac{ab}{a+2b}+\frac{bc}{b+2c}+\frac{ca}{c+2a}\leq \frac{a+b+c}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
duyanh782014

duyanh782014

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 347 Bài viết

Cho a,b,c>0.CMR $\frac{ab}{a+2b}+\frac{bc}{b+2c}+\frac{ca}{c+2a}\leq \frac{a+b+c}{3}$



#2
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 241 Bài viết

Cho a,b,c>0.CMR $\frac{ab}{a+2b}+\frac{bc}{b+2c}+\frac{ca}{c+2a}\leq \frac{a+b+c}{3}$

\[a + 2b = a + b + b \geqslant 2\sqrt[3]{{a{b^2}}};\,\sqrt[3]{{{a^2}b}} \leqslant \frac{{2a + b}}{3}\]

\[VT = \sum {\frac{{ab}}{{a + 2b}}}  \leqslant \sum {\frac{{ab}}{{3\sqrt[3]{{a{b^2}}}}}}  = \sum {\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}b}}}}{3}} \]

\[ \leqslant \sum {\frac{{2a + b}}{9} = \frac{{a + b + c}}{3}} \]



#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1424 Bài viết

Một cách làm khác.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với.

$\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{2}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\leq \frac{a+b+c}{3}$.

Ta có: $\frac{1}{b}+\frac{2}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq \frac{9}{2a+b}$.

Từ đó ta có: $VT\leq \frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}=\frac{a+b+c}{3}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#4
loolo

loolo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

$\sum \frac{ab}{a+2b}\leq\sum \frac{ab}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})=\frac{a+b+c}{3}$


 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh