Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $A$ là tập compact

* * * * * 1 Bình chọn compact

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
Cho $(X,d)$ là không gian metric đầy đủ , gọi $G_{n}$ là hợp một số hữu hạn hình cầu bán kính không quá $r_{n}$ sao cho dãy $(r_{n})$ hội tụ về $0$ . Đặt $A$ là tập giao của tất cả các bao đóng của các tập $G_{n}$ . Chứng minh $A$ là tập compact .

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Cho $(X,d)$ là không gian metric đầy đủ , gọi $G_{n}$ là hợp một số hữu hạn hình cầu bán kính không quá $r_{n}$ sao cho dãy $(r_{n})$ hội tụ về $0$ . Đặt $A$ là tập giao của tất cả các bao đóng của các tập $G_{n}$ . Chứng minh $A$ là tập compact .

 

Dễ thấy $A$ đóng vì $A$ là giao các tập đóng. Với mọi $r>0$, ta chọn được $n$ sao cho $G_n$ phủ được bởi hữu hạn hình cầu bán kính $r$ (chọn $n$ để $r_n<r$). Suy ra $A$ phủ được bởi hữu hạn hình cầu bán kính $r$ nên $A$ hoàn toàn bị chặn. Từ đó ta có $A$ là compact nhờ các định lý sau:

-Nếu $(X, d)$ đủ, $Y\subset X$, $Y$ đóng thì $(Y, d)$ đủ.

-Nếu $(X, d)$ là đủ và $X$ là hoàn toàn bị chặn thì $X$ là compact dãy.

-Trong không gian metric, compact và compact dãy là tương đương nhau.


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
Ta thấy rõ ràng $A$ đóng , bây giờ ta chứng minh $A$ là compact tương đối . Ta thấy bao đóng một tập giới nội thì cucng giới nội . Lại có $A$ là giao của các $G_{n}$ nên với mỗi $\epsilon$ luôn chọn được một $r_{n}<\epsilon$ . Như vậy $A$ hoàn toàn giới nội . Theo định lý Hausdorff thì $A$ là tập compact tương đối nhưng $A$ lại đóng do đó $A$ là compact .

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: compact

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh