Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyenhungmanh]

Câu II. Cho các số thưc dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Chứng minh rằng :

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a^3+b^3+c^3+3}}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhungmanh: 01-10-2016 - 22:16

[le truong son]

Đặt $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=P;\sum a^2(b+c)=Q$

Áp dụng BĐT holder; $P^2.Q\geq (a+b+c)^3$

=>$P\geq \sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{\sum a^2(b+c)}}\geq \sqrt{\frac{(3\sqrt[3]{abc})^3}{a^3+b^3+c^3+3abc}}= \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3+3}}$(Theo BĐT schur)

=>đpcm

[Nguyenhungmanh]

Đặt $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=P;\sum a^2(b+c)=Q$

Áp dụng BĐT holder; $P^2.Q\geq (a+b+c)^3$

=>$P\geq \sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{\sum a^2(b+c)}}\geq \sqrt{\frac{(3\sqrt[3]{abc})^3}{a^3+b^3+c^3+3abc}}= \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3+3}}$(Theo BĐT schur)

=>đpcm

bác dùng cauchy schwarz được ko