Chủ đề này có 1 trả lời

[5S online]

Tìm n nguyên dương thỏa mãn
$$C_n^0+2C_n^1+6C_n^2+...+(n^2-n+2^n)C_n^n=403$$

[huykinhcan99]

Ký hiệu $\dbinom{n}{k}:= \mathrm{C}^k_n$. 

 

Đẳng thức đã cho tương đương với

\[\left[ 2\dbinom{n}{2}+6\dbinom{n}{3}+\ldots+n\left(n-1\right)\dbinom{n}{n}\right]+\left[\dbinom{n}{0}+2\dbinom{n}{1}+4\dbinom{n}{2}+\ldots+2^n\dbinom{n}{n}\right]=403\]

 

Ta có:

\begin{align*} 2\dbinom{n}{2}+6\dbinom{n}{3}+\ldots+n\left(n-1\right)\dbinom{n}{n} &= \sum ^n_{k=2} k\left(k-1\right)\dbinom{n}{k} \\ &= \sum^n_{k=2} \dfrac{k\left(k-1\right)n!}{k!\left(n-k\right)!} \\& = \sum^n_{k=2} n\left(n-1\right).\dfrac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!} \\ & = n\left(n-1\right) \sum^n_{k=2} \dbinom{n-2}{k-2} \\ & = n\left(n-1\right) \sum^{n-2}_{k=0} \dbinom{n-2}{k} \\ &= n\left(n-1\right) (1+1)^{n-2} \quad \text{(nhị thức Newton)} \\ &= n\left(n-1\right). 2^{n-2} \end{align*}

 

Mặt khác

\begin{align*} \dbinom{n}{0}+2\dbinom{n}{1}+4\dbinom{n}{2}+\ldots+2^n\dbinom{n}{n} &= \sum^n_{k=0} \dbinom{n}{k} 2^k \\ &= (1+2)^{n} \quad \text{(nhị thức Newton)} \\ &=3^n\end{align*}

 

Vậy, đẳng thức đã cho trở thành

\[n\left(n-1\right).2^{n-2} +3^n=403\]

 

Với $n=0$, không thoả mãn. Với $n\geqslant 1$, xét hàm số $f(x)=x\left(x-1\right).2^{x-2}+3^x-403$ trên $\left[1; +\infty\right)$. Ta có $f'(x)=(2x-1).2^{x-2}+x(x-1)2^{x-2}\ln 2+3^x\ln 3\geqslant 0 \ \forall x \in \left[1;+\infty\right)$. Vậy hàm số đồng biến, liên tục trên $\left[1; +\infty\right)$. Do đó phương trình $f(n)=0$ sẽ có tối đa một nghiệm. Nhận thấy $n=5$ thoả mãn. Vậy $n=5$.