Chủ đề này có 1 trả lời

[anhquannbk]

Cho $ \bigtriangleup ABC$ nội tiếp đường tròn $ (O) $, trực tâm $H$. Đường thẳng qua $ H$ song song với $ AB$ cắt $ AC$ tại $ X$, đường thẳng qua $ H$ song song với $ AC$ cắt $ AB$ tại $ Y$. $ (AH)$ cắt $ (O)$ tại điểm thứ hai $ Z$. Chứng minh $  A, X, Y, Z$ đồng viên.

[moonkey01]

Xét vị trí các điểm như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự.

 

Gọi $E,F$ là hình chiếu của $H$ trên $CA,AB$ thì $E,F\in (AH)$. Ta có $\angle AFZ=\angle AEZ$, cùng với $\angle ABZ=\angle ACZ$ nên $\angle BZF=\angle CZE$ hay $\bigtriangleup BZF\sim \bigtriangleup CZE(g.g)$ . Từ đó có tỉ lệ $\frac{ZB}{ZC}=\frac{BF}{CE}=\frac{HF}{HE}=\frac{FY}{EX}=\frac{BY}{CX}$ và $\bigtriangleup BZY\sim \bigtriangleup CZX(c.g.c)$, dẫn đến $\angle BZY=\angle CZX$. Có biến đổi góc $\angle XZY=\angle CZY+\angle CZX=\angle CZY+\angle BZY=\angle BZC=\angle BAC$. Vậy $A,X,Y,Z$ cùng thuộc một đường tròn.

 

Hình vẽ gửi kèm:

 

 

Hình gửi kèm

•