Đến nội dung

Hình ảnh

Olympic Toán Giải tích Học viện KTQS vòng 2 năm 2011

olympic toán sinh viên

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
math2

math2

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Câu 1: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\exists c \in [0,1]$, $f(c)= f\left( \dfrac{cn+1}{n}\right)$.

Câu 2: Cho dãy $\{\varepsilon\}$ dãy số gồm các phần tử nhận một trong ba giá trị $-1,0,1$. Chứng minh công thức sau: $\varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}=2 \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\varepsilon_1\varepsilon_2\dots \varepsilon_n}{2^{k-1}}\right)$, $n \in \mathbb{N}$. Từ đó suy ra giới hạn của dãy số sau $a_n = \varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}$.

Câu 3: Tìm $x$ để giới hạn sau tồn tại tính giới hạn đấy $\lim\limits_{n \to \infty} \prod\limits_{k=0}^n \left(1 + \dfrac{2}{x^{2^k}+x^{-2^k}} \right)$.

Câu 4: Giả sử rằng $\{a_n\}$ hội tụ tới 1. Tính giới hạn sau đây với số tự nhiên $p\geq 2$ $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[p]{1+a_n}-1}{a_n}$

Câu 5:

a. Chứng minh rằng nếu dãy $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $\lim\limits_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_n)=a$ thì ta cũng $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}=a.$

b. Chứng minh rằng $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2 -\sin^2 x}{x^2\sin^2 x} = \dfrac{1}{3}$.

c. Sử dụng kết quả trên chứng minh dãy số $\{a_n\}$ cho bởi $0<a_1< \pi, a_{n+1} =\sin a_n$  thỏa mãn $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n =\sqrt{3}.$

Câu 6: Cho dãy số bởi công thức truy hồi $a_1=0, a_{n+1} = 1-\sin (a_n-1)$. Tính giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n a_k$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math2: 09-10-2016 - 22:03






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olympic toán sinh viên

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh