Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 12-10-2016 - 12:28
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 12-10-2016 - 12:28
Bài Hình : Có $OK$ l;à điểm miquel của tứ giác toàn phần $ABCMN$ , có vài cái tứ giác nội tiếp , cộng góc chắc dc :v
Câu 1:
Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x^2+y\geq 0 \\ 5^x< \frac{131x}{3}+2 \end{matrix}\right.$.
Đánh giá phương trình $(1)$, ta được:
$VT\leq x^2+2x+1+x^2+y-2\Leftrightarrow (2x-y+1)^2\leq 0$.
Suy ra: $y=2x+1$. Thế vào phương trình $(2)$ ta được:
$2^x+5^x+\frac{1}{3}x-2-44log_2(2+\frac{131x}{3}-5^x)=0$.
Xét $f(x)=2^x+5^x+\frac{1}{3}x-2-44log_2(2+\frac{131x}{3}-5^x)$.
Ta có: $f''(x)=0$ vô nghiệm nên $f(x)=0$ có tối đa $2$ nghiệm.
May mắn ta nhẩm được $2$ nghiệm: $x=0;x=3$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Bài Hình : Có $OK$ l;à điểm miquel của tứ giác toàn phần $ABCMN$ , có vài cái tứ giác nội tiếp , cộng góc chắc dc :v
Bài hình chỉ cần gọi T là giao của BD là MN thì (BDTE)=-1 là có đpcm
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Bài hình chỉ cần gọi T là giao của BD là MN thì (BDTE)=-1 là có đpcm
bạn giải đi bạn ! mình cũng đang bí
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
Câu 4:
Gọi I là giao điểm của BD và MN
ta có (B,D,E,T)= -1
áp dụng định lý Brocard cho tứ giác toàn phần ABCDMN => OK vuông góc với MN
Do đó EK là phân giác góc BKD
...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 12-10-2016 - 21:57
Câu 3. Từ CTTH, có $a_{n + 1} - 27 = (a_{n} - 27)(2a_{n} + 1)^{2}$. Do đó $a_{n} - 27 = (a_{1} - 7)\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} = 7\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2}$. Do đó $a_{n} + 1 = 7\left[\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4\right]$.
Xét $p\in \mathbb{P}\mid \left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4$ (dĩ nhiên ta thấy chỉ có $p$ lẻ). Ta có $\left(\frac{-4}{p}\right) = 1 \iff \left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ hay $p \equiv 1\pmod{4}$
Do đó số cần tìm là $7$.
P.S: Lâu quá không lên :3
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 12-10-2016 - 22:37
Câu 3. Từ CTTH, có $a_{n + 1} - 27 = (a_{n} - 27)(2a_{n} + 1)^{2}$. Do đó $a_{n} - 27 = (a_{1} - 7)\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} = 7\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2}$. Do đó $a_{n} + 1 = 7\left[\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4\right]$.
Xét $p\in \mathbb{P}\mid \left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4$ (dĩ nhiên ta thấy chỉ có $p$ lẻ). Ta có $\left(\frac{-4}{p}\right) = 1 \iff \left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ hay $p \equiv 1\pmod{4}$
Do đó số cần tìm là $7$.
P.S: Lâu quá không lên :3
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
Câu bất
Đặt A=3 hạng tử đầu
$\sum \frac{ab}{3a+4b+5c}= 2\sum \frac{ab}{6a+8b+10c}\leq \frac{1}{72}\sum \left ( 5\frac{ab}{a+c}+5\frac{ab}{a+c}+4\frac{ab}{a+3b} \right )$
$A\leq \frac{5}{72}\left ( a+b+c \right )+\frac{1}{72}\left ( a+b+c \right )= \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )= \frac{3}{4}$
AD bất đẳng thức AM-GM
$4(a+b+c)=3a+(a+2c)+3b+(b+2c)\geq 4\sqrt[4]{9ab(a+2c)(b+2c)}$
$\Leftrightarrow \sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}\leq 27\Rightarrow VT\leq \frac{77}{108}$
Câu 3. Từ CTTH, có $a_{n + 1} - 27 = (a_{n} - 27)(2a_{n} + 1)^{2}$. Do đó $a_{n} - 27 = (a_{1} - 7)\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} = 7\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2}$. Do đó $a_{n} + 1 = 7\left[\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4\right]$.
Xét $p\in \mathbb{P}\mid \left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4$ (dĩ nhiên ta thấy chỉ có $p$ lẻ). Ta có $\left(\frac{-4}{p}\right) = 1 \iff \left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ hay $p \equiv 1\pmod{4}$
Do đó số cần tìm là $7$.
P.S: Lâu quá không lên :3
Mình không hiểu ký hiệu chỗ màu đỏ lắm, bạn nào giải thích giùm mình với.
Câu bất
Đặt A=3 hạng tử đầu
$\sum \frac{ab}{3a+4b+5c}= 2\sum \frac{ab}{6a+8b+10c}\leq \frac{1}{72}\sum \left ( 5\frac{ab}{a+c}+5\frac{ab}{a+c}+4\frac{ab}{a+3b} \right )$
$A\leq \frac{5}{72}\left ( a+b+c \right )+\frac{1}{72}\left ( a+b+c \right )= \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )= \frac{3}{4}$
AD bất đẳng thức AM-GM
$4(a+b+c)=3a+(a+2c)+3b+(b+2c)\geq 4\sqrt[4]{9ab(a+2c)(b+2c)}$
$\Leftrightarrow \sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}\leq 27\Rightarrow VT\leq \frac{77}{108}$
mình không hiểu chỗ màu đỏ lắm
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
mình không hiểu chỗ màu đỏ lắm
Bạn ghép vào thôi
$\sum \left (\frac{5ab}{a+c}+\frac{5ab}{a+c} \right )=\sum \frac{5ab+5bc}{a+c}=5\sum a$
Mình có làm hơi tắt Phải AM-GM nữa
$\sum \frac{4ab}{a+3b}\leq \sum \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{a}+3\frac{ab}{b} \right )$
Bạn ghép 2 tổng lại là ra như mình
Câu 5b. quen quá nhỉ, IMO SL 1995 Ta lập bảng và đếm bằng 2 cách. Đánh số các người là $1,2,\ldots ,12k$ và đặt $h$ là số người bắt tay với $2$ người bất kỳ. Xét bảng ô vuông $12k\times 12k$. Ở ô vuông là giao của dòng $i$, cột $j$ ($i\ne j$), ta điền vào số $1$ nếu $i$ và $j$ bắt tay nhau; số $0$ nếu họ không bắt tay nhau. Các ô nằm trên đường chéo chính để trống (không xét tới). Ta có số cặp số $1$ nằm trên mỗi dòng là $\dbinom{3k+6}{2}=\frac{(3k+6)(3k+5)}{2}$, suy ra toàn bảng có $\frac{12k(3k+6)(3k+5)}{2}$ cặp số $1$ trên các dòng. Mặt khác, vì cứ $2$ cột bất kì thì số cặp số $1$ trên dòng sẽ xuất hiện đúng $h$ lần, nên số cặp số $1$ theo dòng trên toàn bảng sẽ là $h.\dbinom{12k}{2}=\frac{h.12k(12k-1)}{2}$. Vậy nên $\frac{12k(3k+6)(3k+5)}{2}=\frac{h.12k(12k-1)}{2}$ hay tương đương với $9k^2+(33-12h)k+30+h=0$. Giải phương trình này (với $h$, $k$ là các số nguyên dương), ta thu được $k=3$, $h=6$. Vậy có tất cả $36$ người.
bạn giải đi bạn ! mình cũng đang bí
chỉ cần dùng định lý brocard và blanchet mở rộng sẽ ra ngay
Câu bất
Đặt A=3 hạng tử đầu
$\sum \frac{ab}{3a+4b+5c}= 2\sum \frac{ab}{6a+8b+10c}\leq \frac{1}{72}\sum \left ( 5\frac{ab}{a+c}+5\frac{ab}{a+c}+4\frac{ab}{a+3b} \right )$
$A\leq \frac{5}{72}\left ( a+b+c \right )+\frac{1}{72}\left ( a+b+c \right )= \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )= \frac{3}{4}$
AD bất đẳng thức AM-GM
$4(a+b+c)=3a+(a+2c)+3b+(b+2c)\geq 4\sqrt[4]{9ab(a+2c)(b+2c)}$
$\Leftrightarrow \sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}\leq 27\Rightarrow VT\leq \frac{77}{108}$
Đoạn này anh dùng bất đẳng thức gì vậy,em không hiểu lắm ?
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh