Chủ đề này có 12 trả lời

[tanthanh112001]

Đề

Bài 1: (4,0đ)

          Giải phương trình: $x\sqrt{x^2+6}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+7}=\frac{13}{5}(2x+1)$.

 

Bài 2: (4,0đ)

          Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=\frac{1}{5} & & \\ 4x^2+3x-\frac{57}{25}=-y(3x+1) & & \end{matrix}\right.$

Bài 3: (3,0đ)

          Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$. Chứng minh:

$$\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\geq 1$$

 

Bài 4: (3,0đ)

          Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $2^x=y^2-135$.

 

Bài 5: (3,0đ)

          Cho A là tập hợp có 8 phần tử. Tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập con bất kì trong các tập con này không phải là một tập hợp có 2 phần tử.

 

Bài 6: (3,0đ)

          Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy 19 điểm phân biệt tùy ý có tọa độ là các số nguyên sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ta luôn tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm nói trên mà trọng tâm của tam giác ấy là điểm có tọa độ là các số nguyên.

Lâu rồi mới tham gia diễn đàn lại, đây là top đầu tiên mở màng, có gì sai sót mong BQT và các ĐHV thông cảm (sợ bài không đúng box)

Cần lắm những lời giải đặc sắc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 15-10-2016 - 19:05

[tanthanh112001]

 

Đề

Bài 1: (4,0đ)

          Giải phương trình: $x\sqrt{x^2+6}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+7}=\frac{13}{5}(2x+1)$.

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x^2+6}\geq \sqrt{6} & & \\ b=\sqrt{x^2+2x+7}\geq \sqrt{6} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^2-b^2=-2x-1\Leftrightarrow x=\frac{b^2-a^2-1}{2}$

Phương trình thành

$\frac{b^2-a^2-1}{2}.a+\frac{b^2-a^2+1}{2}.b=\frac{13}{5}(b^2-a^2)$ (Rút gọn và phân tích)

$\Leftrightarrow (b-a)[5(a+b)^2-26(a+b)+5]=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} b-a=0\\a+b=5\\a+b=\frac{1}{5}(VN)\end{matrix}\right.$

(Đến đây chắc dễ rồi)

Làm bài mở đầu cho có khí thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 15-10-2016 - 19:11

[le truong son]

 

 

 

Bài 4: (3,0đ)

          Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $2^x=y^2-135$.

 

 

Xét x lẻ=>x=2k+1=>$2^x=2^{2k+1}=2.4^x=2.(5-1)^x\equiv 2.(-1)^x\equiv 2;3(mod5)$

Mà $y^2-135\equiv 0;1;4(mod5)$

=>x chẵn

=>x=2k=>$2^{2k}-y^2=135<=>(2^k-y)(2^k+y)=135$

Đến đây thì dễ r

[loolo]

Mình giải cũng chả có gì đặc sắc, không biết có đúng không

Bài 4:

Xét x=0, suy ra y không thỏa

Xét x=1, suy ra y không thỏa

Xét $x>1$, pt đã cho tương đương:

$2^{x}+135=y^{2}$

Ta có: $2^{x}\equiv 0(mod4); 135\equiv 3(mod4)\Rightarrow VT\equiv 3(mod4)$

Mà $y^{2}\equiv 0,1(mod4)$

Vậy không có cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn đề bài.

Bài 2:

$pt(1)+2.pt(2):(3x+y)^{2}+2(3x+y)-\frac{119}{25}=0$

                      $\Leftrightarrow 3x+y=\frac{7}{5} \vee 3x+y=\frac{-17}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loolo: 15-10-2016 - 19:37

[Minh Hieu Hoang]

 

 

 

Bài 6: (3,0đ)

          Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy 19 điểm phân biệt tùy ý có tọa độ là các số nguyên sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ta luôn tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm nói trên mà trọng tâm của tam giác ấy là điểm có tọa độ là các số nguyên.

Lâu rồi mới tham gia diễn đàn lại, đây là top đầu tiên mở màng, có gì sai sót mong BQT và các ĐHV thông cảm (sợ bài không đúng box)

Cần lắm những lời giải đặc sắc

 

Trong 19 điểm có 19 hoành độ và 19 tung độ. theo dirichlet thì có 7 hoành độ và có 7 tung độ có cùng số dư khi chia cho 3 

Chọn ra 3 hoành độ đó là x1,x2,x3 và 3 tung độ là y1,y2,y3

ta lấy các điểm A(x1;y1),B(x2;y2);C(x3;y3)

trọng tâm của tam giác ABC là : $G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3};\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})$

theo cách chọn như trên thì x1+x2+x3 và y1+y2+y3 chia hết 3 

Do đó ta luôn tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm nói trên mà trọng tâm của tam giác ấy là điểm có tọa độ là các số nguyên.

[lovelyDevil]

câu bất: $VT \geq (a+b+c)^2/(a^2+b^2+c^2+6)$

cần chứng minh $(a+b+c)^2\geq (a^2+b^2+c^2+6)$

<=> $ab+bc+ac\geq 3$ (đúng vì ab+bc+ac=abc(a+b+c))

[le truong son]

Trong 19 điểm có 19 hoành độ và 19 tung độ. theo dirichlet thì có 7 hoành độ và có 7 tung độ có cùng số dư khi chia cho 3 

Chọn ra 3 hoành độ đó là x1,x2,x3 và 3 tung độ là y1,y2,y3

ta lấy các điểm A(x1;y1),B(x2;y2);C(x3;y3)

trọng tâm của tam giác ABC là : $G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3};\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})$

theo cách chọn như trên thì x1+x2+x3 và y1+y2+y3 chia hết 3 

Do đó ta luôn tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm nói trên mà trọng tâm của tam giác ấy là điểm có tọa độ là các số nguyên.

Sửa lại tí, có 19 điểm mà có 9 cặp số dư khi chia cho 3=>Tồn tại ít nhất $\left [ \frac{19-1}{9} \right ]+1=3$ điểm có hoành độ, tung độ cùng số dư khi chia cho 3

[lovelyDevil]

5. gọi số tập con là n

với n=9 ta sẽ chứng minh ko tm.

thật vậy : số phần tử trong 9 tập con là: 3*9=27.

theo theo  đi rich lê thì có 1 phần tử xuất hiện 4 lần. giả sử x

xét 4 tập A1,A2,A3,A4 chứa x. mỗi tập chứa x và 2 phần tử khác => có 9 phần tử

các phần tử này phải khác nhau vì 4 tập trên chỉ có x chung => vô lí

với n=8 ta tìm dc: (1,2,3)(3,4,5)(5,6,7)(7,8,9)(1,4,6)(2,4,7)(2,5,8)(3,8,6) tm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovelyDevil: 15-10-2016 - 20:18

[hoangvunamtan123]

Sửa lại tí, có 19 điểm mà có 9 cặp số dư khi chia cho 3=>Tồn tại ít nhất $\left [ \frac{19-1}{9} \right ]+1=3$ điểm có hoành độ, tung độ cùng số dư khi chia cho 3

9 cặp số dư à ?

[le truong son]

9 cặp số dư à ?

(0;1);(0;2);(0;0)... banj

[hoangvunamtan123]

(0;1);(0;2);(0;0)... banj

tưởng nói có 9 cặp số dư khi chia 19 điểm tung hoặc hoành độ chia cho 3,bài trên làm đúng rồi chú sửa lại màu mè thế

[le truong son]

tưởng nói có 9 cặp số dư khi chia 19 điểm tung hoặc hoành độ chia cho 3,bài trên làm đúng rồi chú sửa lại màu mè thế

Sory, đoạn nớ mình đọc k kĩ nên tưởng sai sữa lại, mà tui sửa cx đc mà, màu mè gì

[yeutoan2001]

Chém câu BĐT:  $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c <=> ab+bc+ac=abc(a+b+c)\leq \frac{1}{3}(ab+ac+bc)^{2} => ab+bc+ac\geq 3$

CM BĐT trên: $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}$
Cần C/m:  

$\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}\geq 1 <=> ab+ac+bc\geq 3$