Chủ đề này có 2 trả lời

[NTMFlashNo1]

Tìm p ,q là 2 số nguyên tố sao cho:

     $2^{p}+2^{q}\vdots pq$

[I Love MC]

Trích lời giải của anh Tạ Hà Nguyên 
Giải như sau:
Bổ đề:(nhận xét) Nếu $p|2^x-1$ và $p|2^y-1$ với $y$ nhỏ nhất có thể thỏa mãn (hay $y$ là cấp của $2$ với $mod p$) khi đó $y|x$
Cm: Giả sử $x$ không chia hết cho $y$ suy ra $x=yk+r$ với $1\le r\le y-1$
Khi đó $p|2^x-1 \rightarrow p|2^{yk+r}-1 \rightarrow p|2^{yk}.2^r-2^r+2^r-1 \rightarrow p|(2^{yk}-1).2^r+(2^r-1)<1>$
Nhận thấy rằng $p|2^{yk}-1$ do $2^{yk}-1=(2^y)^k-1=(2^y-1)(...)$ do đó $p|2^{yk}-1<2>$
Từ $<1><2> \rightarrow p|2^r-1$ với $r<y$ mâu thuẫn do ta đã giả sử $y$ nhỏ nhất
Suy ra $đpcm$ hay $y|x$
$$**********$$
Không mất tính tổng quát giả sử $p\geq q$
TH1: $q=2 \rightarrow 2^p+4 \vdots p \rightarrow 4(2^{p-2}+1) \vdots p$
Do đó $p=2$ và nếu $p>2 \rightarrow 4(2^{p-2}+1)=2(2^{p-1}+1+1) \equiv 2(1+1+1) \pmod {p} \rightarrow p=3$ (theo fermat nhỏ)
TH2: $q>2 \rightarrow p>2 \rightarrow p,q$ cùng lẻ
Suy ra $\rightarrow pq|2^p+2^q \rightarrow pq|2^q(2^{p-q}+1)$
Do $gcd(pq,2^q)=1 \rightarrow pq|2^{p-q}+1 <*> \rightarrow pq|(2^{p-q}+1)(2^{p-q}-1) \rightarrow pq|2^{2(p-q)}-1 \rightarrow p|2^{2(p-q)}-1<3>$
Goi $d$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $p|2^d-1<4>$
Từ $<3><4>$ áp dụng nhận xét suy ra $d|2(p-q)$
Th1 nhỏ: $d$ lẻ suy ra $d|p-q \rightarrow p|2^d-1|2^{p-q}-1<5>$
Mặt khác ở $<*>$ ta lại có $p|2^{p-q}+1<6>$
Từ $<5><6> \rightarrow p|2$ vô lý do $p>2$
Th2 nhỏ: $d$ chẵn nên $d=2^u.v$
Áp dụng bổ đề suy ra $d|2(p-q) \rightarrow 2^{u-1}.v|p-q$
Mặt khác do $p|2^d-1 \rightarrow p|2^{2^u.v}-1 \rightarrow p|(2^v-1)(2^v+1)(2^{v.2}+1)(2^{v.2^2}+1)...(2^{v.2^{u-1}}+1)$
Nhận thấy do $d$ nhỏ nhất thỏa mãn $p|2^d-1$ suy ra $2^v-1$ không chia hết cho $p$ (giả sử trái lại suy ra vô lý do $v<d$)
Và $(2^v+1);(2^{v.2}+1);(2^{v.2^2}+1)...;(2^{v.2^{u-2}}-1)$ cũng không chia hết cho $p$ vì nếu trái lại giả sử $2^{v.2^{h}}+1$ chia hết cho $p$ với $0\le h\le u-2$
Theo $<7> \rightarrow 2^{u-1}.v|p-q \rightarrow p-q=2^{u-1}.v.g$ và $g=2^a.b$ (với $b$ lẻ)
Do đó nếu $p|2^{v.2^{h}}+1$ với $0\le h\le u-2$, và kết hợp
$2^{p-q}-1=2^{2^{u-1}.v.2^a.b}-1=2^{2^{u-1+a}.v.b}-1=2^{2^{h}.2^{u-1+a-h}.v.b}-1$
$=(2^{2^h.v})^{2^{u-1+a-h}.b}-1=((2^{2^{h}.v})^b)^{2^{u-1+a-h}}-1<8>$
Vì $0\le h\le u-2 \rightarrow u-1+a-h>0 \rightarrow$ và theo nhận xét hết sức đơn giản sau: $a^{2^z}-b^{2^z}=(a+b)(....) \rightarrow (a+b)|a^{2^z}-b^{2^z}<9>$
Từ $<8><9> \rightarrow 2^{v.2^{h}}+1|(2^{v.2^{h}})^b+1|((2^{2^{h}.v})^b)^{2^{u-1+a-h}}-1 \rightarrow 2^{v.2^{h}}+1|2^{p-q}-1$ (do $b$ lẻ)
Mà $p|2^{v.2^{h}}+1 \rightarrow p|2^{p-q}-1$ mặt khác ta đã chứng minh $p|2^{p-q}+1$ do đó $p|2$ vô lý
Như vậy suy ra $p|(2^v-1)(2^v+1)(2^{v.2}+1)(2^{v.2^2}+1)...(2^{v.2^{u-1}}+1) \leftrightarrow p|2^{v.2^{u-1}}+1$
Do đó theo bổ đề suy ra $2^{u-1}.v|(p-q)$ và thương phải là số lẻ (nếu không làm như trên suy ra $p|2$ vô lý)
Suy ra $p-q=2^{u-1}.v.t$ với $v,t$ lẻ $<10>$
Chứng minh hoàn toàn tương tự với $q|2^{2(p-q)}-1$ và giả sử $q|2^e-1$ với $e$ nhỏ nhất
Ta cũng suy ra $e=2^{w}.y$ với $y$ lẻ và cũng suy ra $p-q-2^{w-1}.y.x$ với $x,y$ lẻ $<11>$
Từ $<10><11> \rightarrow p-q=2^{u-1}.v.t=2^{w-1}.y.x$ nhưng $x,y,v,t$ lẻ do đó $2^{u-1}=2^{w-1} \rightarrow u=w$ $<*>$
Do đó $p-q=2^{u-1}.v.t<13>$
Mặt khác từ đề bài ta có $pq|2^p+2^q \rightarrow p|2^{p-1}.2+2^q $
Theo Fermat nhỏ suy ra $p|2+2^q \rightarrow p|1+2^{q-1} \rightarrow p|2^{2(q-1)}-1$
Tương tự $q|2^{2(p-1)}-1$
Chứng minh tương tự $p-q$ ta thu ngay được $p-1=2^{w-1}.y.m$ và $q-1=2^{u-1}.v.n$ với $m,n$ cùng lẻ $<14>$
Từ $<13><14> \rightarrow p-q=2^{u-1}.v.t=(p-1)-(q-1)=2^{w-1}.y.m-2^{u-1}.v.n$
Hay có $2^{u-1}.v.t=2^{w-1}.y.m-2^{u-1}.v.n$ mặt khác ta đã chứng minh $u=w$ (theo $<*>$)
Suy ra $2^{u-1}.v.t=2^{u-1}.y.m-2^{u-1}.v.n \rightarrow vt=ym-vn<15>$
Nhưng $v,t,y,m,n$ đều là số lẻ do đó $<15>$ không tồn tại ($VT$ lẻ còn $VP$ chẵn vô lý)
Như vậy cả trường hợp này bị loại
Đáp số $\boxed{(p,q)=(2,2),(2,3),(3,2)}$

[Baoriven]

Ta thấy $\boxed{(p,q)=(2,2),(2,3),(3,2)}$ thỏa mãn YCBT.

Ta chứng minh ngoài các cặp trên không còn cặp nào nữa.

Giả sử ngược lại $p\neq 2, q\neq 2$ nguyên tố thỏa mãn: $2^{p}+2^{q}\vdots pq$.

$p=2^l.n+1,q=2^k.m+1$ ($m,n$ lẻ).

Theo định lí $Fermat$ nhỏ, ta có:

$0\equiv 2^p+2^q\equiv 2^p+2(modq)$

$\Rightarrow 2^{p-1}\equiv -1(modq)\Rightarrow x^{2^l}\equiv -1(modq)$

với $x=2^n;x^{2^{l+1}}\equiv 1(modq)$.

Suy ra $ordq(x)=2^{l+1}|\varphi (q)=q-1\Rightarrow 2^{l+1}|2^k.m\Rightarrow l+1\leq k$.

Lập luận tương tự: $k+1\leq l$.

Do đó: $l\leq k-1\leq l-2$ (vô lý).

(Trích Đáp án Đề đề nghị 30/4)