Chủ đề này có 4 trả lời

[ineX]

Cho: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f((x+1)f(y))=y.f(1+f(x))$$

a, Chứng minh rằng nếu tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a)\neq 0$ thì $f$ là song ánh

b, Tìm tất cả các hàm f

[ineX]

Ai giúp mình bài này với!

[Zeref]

Cho: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f((x+1)f(y))=y.f(1+f(x))$$

a, Chứng minh rằng nếu tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a)\neq 0$ thì $f$ là song ánh

b, Tìm tất cả các hàm f

CM đơn ánh:

Xét $a,b \in \mathbb{R}$ thoả $f(a)=f(b)$

$=>f((x+1)f(a))=f((x+1)f(b))$

$=>af(1+f(x))=bf(1+f(x))$

Do $f(x)$ luôn khác 0 nên $a=b$

Suy ra f đơn ánh

[anhquannbk]

Cho: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f((x+1)f(y))=y.f(1+f(x))$$

a, Chứng minh rằng nếu tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a)\neq 0$ thì $f$ là song ánh

b, Tìm tất cả các hàm f

cho $ y=1$ ta có $ f((x+1).f(1))= f(1+f(x))$

Nếu $ f$ đơn ánh thì $ (x+1).f(1)=1+f(x)$ như vậy hàm $ f$ có dạng $ f(x)=ax+b$. Thay vào phương trình đầu ta tìm được các hàm thỏa mãn $ f(x) \equiv 0, f(x) \equiv x, \forall x \in \mathbb{R}$.

Nếu $ f$ không đơn ánh thì tồn tại $ y_1 \ne y_2$ sao cho $ f(y_1)=f(y_2)$

Do đó $ f((x+1).f(y_1))=y_1f(1+f(x))=f((x+1).f(y_2)=y_2f(1+f(x)), \forall x \in \mathbb{R}$

và do $ y_1 \ne y_2$ nên $ f(1+f(x))=0, \forall x \in \mathbb{R} $, thay và phương trình đầu được $ f((1+x).f(y))=0 , \forall x,y \in \mathbb{R}$

Nếu tồn tại $ y_0$ sao cho $ f(y_0) \ne 0$ thì ta có điều mâu thuẫn.

Các hàm thỏa bài toán là $f(x) \equiv 0, f(x) \equiv x, \forall x \in \mathbb{R} $

[halloffame]

Một cách khác để chứng minh $f(x)=x$ khi $f$ khác hằng:

 

CM đơn ánh:

Xét $a,b \in \mathbb{R}$ thoả $f(a)=f(b)$

$=>f((x+1)f(a))=f((x+1)f(b))$

$=>af(1+f(x))=bf(1+f(x))$

Do $f(x)$ luôn khác 0 nên $a=b$

Suy ra f đơn ánh

 

Theo chứng minh này, ta có $f$ đơn ánh. 

Trong phương trình ban đầu thay $x=-1,y=1:f(0)=y.f(1+f(-1)).$

Nếu $1+f(-1) \neq 0$ thì với mỗi giá trị của $y$ ta lại nhận một giá trị của $f(0).$ Nghĩa là $f(0)$ có vô số giá trị khác nhau, vô lí.

Do đó $f(-1)=-1 \Rightarrow f(0)=0.$

Lại thay $x=0,y=1:f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1.$ (do $f$ đơn ánh)

Lại thay $y=1:f(x+1)=f(1+f(x)) \Rightarrow f(x)=x.$ (do $f$ đơn ánh)