ĐỀ THI HSG THPT CHUYÊN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA THPT NĂM 2016-2017 TỈNH QUẢNG NAM
Câu 1. (3 điểm) Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{matrix} & 16x^3+24x^2+12x+3=\sqrt[3]{y}\\& 16y^3+24y^2+12y+3=\sqrt[3]{x} \end{matrix}\right. $.
Câu 2. (2 điểm)
Cho số thực $ a > 2$ và dãy số $ (x_n) $ xác định bởi công thức:
$ x_1=a, x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n +\sqrt{2x_n-3} $ với mọi $ n \ge 1 $.
Chứng minh rằng dãy $ (x_n) $ có giới hạn khi $ n \to +\infty$ và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (5 điểm)
Cho đường tròn $ (O)$ và dây cung $ BC$ khác đường kính. Điểm $ A $ di động trên cung lớn $ BC $ sao cho tam giác $ ABC $ không cân tại $ A $. Gọi $ M $ là giao điểm của hai tiếp tuyến với $ (O) $ tại $ B $ và $ C $, $ AM $ cắt $ (O) $ tại $ D $ khác $ A$. Dựng đường kính $ DE $ của $ (O)$. Các đường thẳng $ BD, CE $ cắt nhau tại $ X $, các đường thẳng $ BE, CD $ cắt nhau tại $ Y$.
a) Chứng minh rằng $ MX=MY$
b) Gọi $ N $ là giao điểm của $ AE $ và $ XY $. Chứng minh rằng $ N $ nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 4. (2 điểm) Cho số nguyên tố $ p$ và các số nguyên dương $ a, b, c $ phân biệt nhỏ hơn $ p $. Chứng minh rằng nếu các số $ a^3, b^3, c^3 $ có cùng số dư khi chia cho $ p $ thì $ a^2+b^2+c^2 $ chia hết cho $ a+b+c $.
Câu 5. (3 điểm) Tìm tất cả các đa thức $ P(x) $ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện:
$ P(x^2)+P(x).P(x+1)=0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $
Câu 6. ( 2 điểm) Tìm số tự nhiên $ n$ nhỏ nhất sao cho với mọi cách chia tập hợp $ A={\{1;2...;n}\} $ thành bốn tập con rời nhau, mỗi tập có ít nhất $ 3$ phần tử, thì luôn tồn tại ít nhất một tập $ B$ (trong bốn tập con đó) thỏa điều kiện luôn chọn được trong $ B$ ba phần tử mà ba phần tử đó là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Câu 7. ( 3 điểm) Cho các số thực không âm $ a, b, c, d $.
Chứng minh bất đẳng thức: $ (a+b+c+d)^3 \le 4(a^3+b^3+c^3+d^3) +24(abc+bcd+cda+dab) $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 18-10-2016 - 16:16