Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại $f(A)=H \setminus B,g(B)= H \setminus A$

set

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Điều hành viên Đại học
  • 1229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN , ĐHQG Hà Nội
  • Sở thích:Algebraic Topology

Đã gửi 19-10-2016 - 15:44

Cho tập hợp $H$ , gọi $\rho(H)$ là họ tất cả các tập con của $H$ , xét hai ánh xạ tăng :

$$f,g : \rho(H) \to \rho (H)$$

$$X \subset Y \subset H$$

$$f(X) \subset f(Y) \subset H$$

$$g(X) \subset g(Y) \subset H$$

Chứng minh tồn tại $A,B \subset H$ thỏa mãn 

 

$$f(A)=H \setminus B,g(B)= H \setminus A$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 19-10-2016 - 15:45

Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh 


#2 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 20-10-2016 - 22:28

Ta có các bổ đề sau

Bổ đề 1: $A\subset B\Rightarrow A\cap C\subset B\cap C, A\setminus C\subset B\setminus C$.

Bổ để 2: $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$.

Bổ đề 3: Nếu $f$ tăng trên $\rho (H)$ thì $f$ luôn có một điểm bất động.

Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp với số phần tử của $H$

$\left | H \right |=0$, hiển nhiên.

Giả sử với $\left | H \right |\leq n$ bài toán đúng. Xét tập $H'=H\cup \left \{ a \right \},H\cap \left \{ a \right \}=\varnothing ,\left | H \right |=n$. Xét hai hàm trên $\rho (H)$: $g(A)=f(A)\setminus \left \{ a \right \},h(A)=f(A\cup \left \{ a \right \})\setminus \left \{ a \right \}$. Theo bổ đề 1, hai hàm này tăng, do vậy theo giả thiết quy nạp tồn tại hai tập $A,B\subset H$ sao cho $g(A)=A, h(B)=B$.

Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B\cup \left \{ a \right \}$, bài toán đúng với $n+1$.

Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B$, xét tập $A\cap B\setminus H$, theo bổ đề 2 ta có $\forall X\subset A\cap B, f(X)\subset A\cap B$, do vậy theo giả thiết quy nạp bài toán đúng với $n+1$.

Bổ đề $4$: $A\subset B\Leftrightarrow C\setminus B\subset C\setminus A$.

Ta quay lại bài toán. Xét hàm $h(X)=f(H\setminus g(H\setminus X))$. Theo bổ đề 4 ta có hàm $h$ tăng. Theo bổ đề 3 ta có $h$ tồn tại điểm bất động $X$. Dễ thấy hai tập $H\setminus g(H\setminus X) ,H\setminus X$ thỏa mãn đề bài.

(Q.E.D)

Bài này lạ quá. Anh lấy ở đâu vậy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 20-10-2016 - 22:31


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Điều hành viên Đại học
  • 1229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN , ĐHQG Hà Nội
  • Sở thích:Algebraic Topology

Đã gửi 20-10-2016 - 22:48

Ta có các bổ đề sau

Bổ đề 1: $A\subset B\Rightarrow A\cap C\subset B\cap C, A\setminus C\subset B\setminus C$.

Bổ để 2: $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$.

Bổ đề 3: Nếu $f$ tăng trên $\rho (H)$ thì $f$ luôn có một điểm bất động.

Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp với số phần tử của $H$

$\left | H \right |=0$, hiển nhiên.

Giả sử với $\left | H \right |\leq n$ bài toán đúng. Xét tập $H'=H\cup \left \{ a \right \},H\cap \left \{ a \right \}=\varnothing ,\left | H \right |=n$. Xét hai hàm trên $\rho (H)$: $g(A)=f(A)\setminus \left \{ a \right \},h(A)=f(A\cup \left \{ a \right \})\setminus \left \{ a \right \}$. Theo bổ đề 1, hai hàm này tăng, do vậy theo giả thiết quy nạp tồn tại hai tập $A,B\subset H$ sao cho $g(A)=A, h(B)=B$.

Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B\cup \left \{ a \right \}$, bài toán đúng với $n+1$.

Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B$, xét tập $A\cap B\setminus H$, theo bổ đề 2 ta có $\forall X\subset A\cap B, f(X)\subset A\cap B$, do vậy theo giả thiết quy nạp bài toán đúng với $n+1$.

Bổ đề $4$: $A\subset B\Leftrightarrow C\setminus B\subset C\setminus A$.

Ta quay lại bài toán. Xét hàm $h(X)=f(H\setminus g(H\setminus X))$. Theo bổ đề 4 ta có hàm $h$ tăng. Theo bổ đề 3 ta có $h$ tồn tại điểm bất động $X$. Dễ thấy hai tập $H\setminus g(H\setminus X) ,H\setminus X$ thỏa mãn đề bài.

(Q.E.D)

Bài này lạ quá. Anh lấy ở đâu vậy.

Chứng minh của em chỉ đúng cho tập đếm được . Tập không đếm được không quy nạp được 


Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh 


#4 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 21-10-2016 - 10:21

Ý tưởng của em là chỉ cần xét khoảng $[0;1)$. Xét tập $D_n=\left \{ [0;\frac{1}{2^n});...[1-\frac{1}{2^n};1) \right \}$ và hàm trên $D_n$: $h_n(X)=\bigcup_{A\subset X}f(X),A\subset H$. Ta chứng minh được $h_n$ tăng, theo bổ đề 3 ta được các tập $X_1,X_2,...$ sao cho $h_k(X_k)=X_k$. Ta cũng chứng minh được $X_{k+1}\subset X_k$. Theo bổ đề về dãy các đoạn thẳng lồng nhau, ta chứng minh được tồn tại tập $X$ sao cho $f(X)=X$.

Tại em không biết trình bày mấy cái này, nên em ghi tắt (chắc em cũng lập luận sai ở đâu đó).

Anh học mấy cái này ở đâu vậy?



#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Điều hành viên Đại học
  • 1229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN , ĐHQG Hà Nội
  • Sở thích:Algebraic Topology

Đã gửi 21-10-2016 - 10:36

Hừm vấn đề em xét đoạn này liên quan gì đến bài toán , anh chỉ nói là chứng minh em cần sửa một chút để nó đúng cho lực lượng không đếm được

Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh 


#6 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 21-10-2016 - 10:50

Không liên quan là sao ạ. Em chứng minh bổ đề 3 với tập không đếm được mà.

#7 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Điều hành viên Đại học
  • 1229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN , ĐHQG Hà Nội
  • Sở thích:Algebraic Topology

Đã gửi 21-10-2016 - 12:48

Em mới chỉ chứng minh được cho một loại vô hạn là $R$ , như thế chưa đủ vì luôn có một lực lượng lớn hơn thế rất nhiều

Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh 


#8 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 22-10-2016 - 09:22

$X=\lim_{n\rightarrow \infty }f^n(H)$



#9 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Điều hành viên Đại học
  • 1229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN , ĐHQG Hà Nội
  • Sở thích:Algebraic Topology

Đã gửi 22-10-2016 - 10:04

??? Ý em là sao

Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh 


#10 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 22-10-2016 - 11:36

Ta có $f(H)\subset H$ (hiển nhiên), bằng quy nạp $f^{n+1}(H)\subset f^n(H)$. Vậy $f^n(H)$ có giới hạn thỏa $f(X)=X$.

Không biết xài mấy từ này có ổn không.



#11 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Điều hành viên Đại học
  • 1229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN , ĐHQG Hà Nội
  • Sở thích:Algebraic Topology

Đã gửi 22-10-2016 - 13:24

Em viết cho anh đầy đủ chứng minh như chứng minh $1$ của em đi

Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh 


#12 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 22-10-2016 - 17:25

Bổ đề: Nếu $f$ tăng trên $\rho (H)$ thì $f$ tồn tại một điểm bất động

Xét dãy tập hợp $X_0=H, X_{n+1}=f(X_n)$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp $X_{n+1} \subset X_n$.

Với $n=0$, ta có $f(H)\subset H$ vì $f(H)$ thuộc $\rho (H)$ nên là tập con của $H$.

Giả sử $X_{n+1}\subset X_n$, theo định nghĩa hàm tăng, $f(X_{n+1})\subset f(X_n)$ hay $X_{n+2}\subset X_{n+1}$

Vậy $X_{n}$ dần tiến về tập $X\subset H$ (đoạn này thấy không ổn nhưng có vẻ đúng với tập hữu hạn). Ta có $f(X)=X$

Rồi làm như phần chứng minh trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-10-2016 - 21:26


#13 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Điều hành viên Đại học
  • 1229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN , ĐHQG Hà Nội
  • Sở thích:Algebraic Topology

Đã gửi 22-10-2016 - 20:01

Anh không biết là có bổ dề dãy hội tụ cho tập hợp hơn nữa em nên nhớ rằng ánh xạ nào cũng có điểm bất động là tập rỗng .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-10-2016 - 21:27

Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh