Ta có các bổ đề sau
Bổ đề 1: $A\subset B\Rightarrow A\cap C\subset B\cap C, A\setminus C\subset B\setminus C$.
Bổ để 2: $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$.
Bổ đề 3: Nếu $f$ tăng trên $\rho (H)$ thì $f$ luôn có một điểm bất động.
Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp với số phần tử của $H$
$\left | H \right |=0$, hiển nhiên.
Giả sử với $\left | H \right |\leq n$ bài toán đúng. Xét tập $H'=H\cup \left \{ a \right \},H\cap \left \{ a \right \}=\varnothing ,\left | H \right |=n$. Xét hai hàm trên $\rho (H)$: $g(A)=f(A)\setminus \left \{ a \right \},h(A)=f(A\cup \left \{ a \right \})\setminus \left \{ a \right \}$. Theo bổ đề 1, hai hàm này tăng, do vậy theo giả thiết quy nạp tồn tại hai tập $A,B\subset H$ sao cho $g(A)=A, h(B)=B$.
Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B\cup \left \{ a \right \}$, bài toán đúng với $n+1$.
Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B$, xét tập $A\cap B\setminus H$, theo bổ đề 2 ta có $\forall X\subset A\cap B, f(X)\subset A\cap B$, do vậy theo giả thiết quy nạp bài toán đúng với $n+1$.
Bổ đề $4$: $A\subset B\Leftrightarrow C\setminus B\subset C\setminus A$.
Ta quay lại bài toán. Xét hàm $h(X)=f(H\setminus g(H\setminus X))$. Theo bổ đề 4 ta có hàm $h$ tăng. Theo bổ đề 3 ta có $h$ tồn tại điểm bất động $X$. Dễ thấy hai tập $H\setminus g(H\setminus X) ,H\setminus X$ thỏa mãn đề bài.
(Q.E.D)
Bài này lạ quá. Anh lấy ở đâu vậy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 20-10-2016 - 22:31