Chủ đề này có 1 trả lời

[halloffame]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $O),AC \cap BD=E,P$ bất kì. Gọi $X,Y,Z,T$ là tâm $(PAB).(PBC).(PCD),(PDA).$ 

Chứng minh $XZ,YT,OE$ đồng quy.

[vietdohoangtk7nqd]

Do mình không biết cách chèn hình lên đây nên các bạn nên tự vẽ hình để theo dõi, thành thật xin lỗi

Gọi U,V lần lượt là giao của (PAB) và (PCD); (PBC) và (PAD) (U,V khác P)

Thật đơn giản nhận ra PU,PV lần lượt là trục đẳng phương của (PAB) và (PCD); (PBC) và (PAD)

Ta còn có ABCD nội tiếp nên: Y'B.Y'A=Y'C.Y'D, X'A.X'D=X'B.X'C (X',Y' lần lượt là giao của AD và BC, AB và CD)

Do đó: P,U,Y' thẳng hàng và P,V,X' thẳng hàng

Gọi giao của OE với X'Y' là J, theo định lý Brocard thì OE vuông góc X'Y' tại J (1)

Ta có XZ giao YT tại  tâm O' của (PUV)

Như vậy ta có OO' là đường nối tâm của 2 đường tròn (PUV) và (ABCD) do đó nó vuông góc với trục đẳng phương

Nhưng X'Y' là trục đẳng phương của hai đường tròn trên vì  Y'B.Y'A=Y'C.Y'D=Y'U.Y'P, X'A.X'D=X'B.X'C=X'P.X'V 

Do vậy OO' vuông góc X'Y' (2)

(1)(2) suy ra O, O', E thẳng hàng hay ta có dpcm

(Lưu ý các dộ dài trên đều là độ dài đại số vì nó chính xác hơn độ dài hình học)

Các bạn còn có thể làm bài này bằng phép nghịch đảo..... mời làm thử!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietdohoangtk7nqd: 19-10-2016 - 23:21