Tìm đa thức bậc bé nhất có hệ số nguyên nhận $1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ làm nghiệm.
Tìm đa thức bậc bé nhất có hệ số nguyên nhận $1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ làm nghiệm.
#1
Đã gửi 20-10-2016 - 20:44
#2
Đã gửi 03-11-2016 - 10:56
Tìm đa thức bậc bé nhất có hệ số nguyên nhận $1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ làm nghiệm.
Ta làm như sau
Ta có :
$x=1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$
$\Leftrightarrow x(1+\sqrt[3]{2})=1+(\sqrt[3]{2})^3=3$
$\Leftrightarrow 2x^3=(3-x)^3$
Biến đổi chút nữa ta có $x=1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ là nghiệm của đa thức bậc ba hệ số nguyên
$f(x)=x^3-3x^2+9x+9$
Ta chứng minh $f(x)$ là đa thức có bậc nhỏ nhất thoã mãn đề
1) Nếu $f(x)$ có nghiệm hữu tỉ thì $f(x)$ có nghiệm nguyên là ước của 9 ,dễ thấy không có ước của 9 là nghiệm $f(x)$
Mà $x=1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ là số vô tỉ nên dẫn tới $Deg(f)$ khác 1
2) Giả sử $x=1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ là nghiệm của đa thức bậc 2 với hệ số nguyên . Chia $f(x)$ cho $g(x)$
$\Rightarrow f(x)=g(x).q(x)+r(x)$ với $Deg(r)<2$
Vì $f(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} )=0$ nên $r(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})=0$ do đó $r(x)=0$ .Do đó thì $f(x)=g(x).q(x)$ với $q(x)$ là đa thức bậc 1 với hệ số hữu tỉ.Suy ra $f(x)$ có nghiệm hữu tỉ .Vô Lí !!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 03-11-2016 - 10:57
- foollock holmes yêu thích
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh