Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm đa thức bậc bé nhất có hệ số nguyên nhận $1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ làm nghiệm.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Tìm đa thức bậc bé nhất có hệ số nguyên nhận $1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ làm nghiệm.



#2
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

Tìm đa thức bậc bé nhất có hệ số nguyên nhận $1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ làm nghiệm.

Ta làm như sau

Ta có : 
$x=1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$

$\Leftrightarrow x(1+\sqrt[3]{2})=1+(\sqrt[3]{2})^3=3$

$\Leftrightarrow 2x^3=(3-x)^3$

Biến đổi chút nữa ta có $x=1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ là nghiệm của đa thức bậc ba hệ số nguyên 

$f(x)=x^3-3x^2+9x+9$

Ta chứng minh $f(x)$ là đa thức có bậc nhỏ nhất thoã mãn đề
1) Nếu $f(x)$ có nghiệm hữu tỉ thì $f(x)$ có nghiệm nguyên là ước của 9 ,dễ thấy không có ước của 9 là nghiệm $f(x)$

Mà $x=1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ là số vô tỉ nên dẫn tới $Deg(f)$ khác 1

2) Giả sử $x=1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ là nghiệm của đa thức bậc 2 với hệ số nguyên . Chia $f(x)$ cho $g(x)$

 $\Rightarrow f(x)=g(x).q(x)+r(x)$ với $Deg(r)<2$

Vì $f(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} )=0$ nên $r(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})=0$ do đó $r(x)=0$ .Do đó thì $f(x)=g(x).q(x)$ với $q(x)$ là đa thức bậc 1 với hệ số hữu tỉ.Suy ra $f(x)$ có nghiệm hữu tỉ .Vô Lí !!! 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 03-11-2016 - 10:57

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh