1 reply to this topic

[tay du ki]

Tìm các số nguyên x , y thỏa mãn phương trình 

x^{2 -} 2x = 27 y³

 

[Isaac Newton]

$x^2-2x=27y^3 \Leftrightarrow (x-1)^2=(3y+1)(9y^2-3y+1)$

Giả sử $d=(3y+1;9y^2-3y+1)(d\in\mathbb{N}; d\geq 1)\Rightarrow 3y+1\vdots d; 9y^2-3y+1\vdots d\Rightarrow (3y+1)^2-(9y^2-3y+1)\vdots d$

$\Rightarrow 9y\vdots d\Rightarrow -3y+1\vdots d\Rightarrow 2\vdots d \Rightarrow$ $d=1$ hoặc $d=2.$

Nếu y chẵn $\Rightarrow$ $9y^2-3y+1$ lẻ $\Rightarrow$ d=1.

Nếu y lẻ $\Rightarrow$  $9y^2-3y+1$ lẻ suy ra d=1.

Vậy $(3y+1;9y^2-3y+1)=1 \Rightarrow 3y+1=m^2; 9y^2-3y+1=n^2 (m,n \in\mathbb{N})$

Xét $9y^2-3y+1=n^2 \Rightarrow 9y^2-3y+1-n^2=0\Leftrightarrow 4.9y^2-4.3y+4-4n^2=0\Leftrightarrow (6y-1)^2-(2n)^2=-3$

Đến đây giải phương trình dễ tìm được nghiệm duy nhất (y;n)=(0;1)

Thử lại thấy y=0 thì $3y+1= 9y^2-3y+1=1 $chính phương.

Khi đó với y=0 suy ra $x^2-2x=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.

Kêt luận: (x;y)=(0;0);(2;0) là các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình đã cho.

Edited by Isaac Newton, 22-10-2016 - 19:55.