Chủ đề này có 1 trả lời

[duymy2001]

Tính tổng:

   $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}$

[Hai2003]

Bổ đề: Với $a,b$ là 2 số tự nhiên liên tiếp thì $a^2+b^2+a^2b^2=(ab+1)^2$. Dễ dàng chứng minh bằng cách thế $b=a+1$ vào.

Như vậy ta có:

$A=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}\\ A=\sqrt{\frac{2^2+3^2+2^2.3^2}{2^2.3^2}}+\sqrt{\frac{3^2+4^2+3^2.4^2}{3^2.4^2}}+...+\sqrt{\frac{2015^2+2016^2+2015^2.2016^2}{2015^2.2016^2}}\\ A=\frac{2.3+1}{2.3}+\frac{3.4+1}{3.4}+...+\frac{2015.2016+1}{2015.2016}\\ A=2014+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2015.2016}$

 

Phần sau thì quá quen thuộc rồi: $\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2015.2016}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}=\frac{1007}{2016}$

$\implies A=2014\frac{1007}{2016}$