Chủ đề này có 1 trả lời

[Black Pearl]

Cho $\triangle ABC$ có các đường phân giác trong AD, BE, CF cắt nhau tạo I. Xác định dạng tam giác để $\frac{AI}{AD}.\frac{BI}{BE}.\frac{CI}{CF}$ đạt giá trị lớn nhất

[Hai2003]

Theo tính chất phân giác cho $\bigtriangleup ABD$ thì $\frac{AI}{AB}=\frac{ID}{BD}=\frac{AD}{AB+BD}$ (dãy tỉ số bằng nhau)

$\implies \frac{AI}{AD}=\frac{AB}{AB+BD}$.

Làm như vậy cho $\bigtriangleup ACD$ ta có $\frac{AI}{AD}=\frac{AC}{AC+CD}=\frac{AB+AC}{AB+BC+CA}$ (dãy tỉ số bằng nhau)

 

Chứng minh tương tự ta có $\frac{BI}{BE}=\frac{AB+BC}{AB+BC+CA};\ \frac{CI}{CF}=\frac{AC+BC}{AB+BC+CA}\implies \frac{AI}{AD}+\frac{BI}{BE}+\frac{CI}{CF}=2$

 

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{AI}{AD}.\frac{BI}{BE}.\frac{CI}{CF}\leq \left(\frac{\frac{AI}{AD}+\frac{BI}{BE}+\frac{CI}{CF}}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{AI}{AD}=\frac{BI}{BE}=\frac{CI}{CF}\implies \bigtriangleup ABC$ đều