Cho $x,y,z> 0 ,x+y+z=2$. Tìm GTNN của:
$P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz$
Cho $x,y,z> 0 ,x+y+z=2$. Tìm GTNN của:
$P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz$
Ta có: $xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)=(2-2z)(2-2y)(2-2z)=8(1-x-y-z+xy+yz+xz-xyz)$.
$\Rightarrow 9xyz\geq 8(xy+yz+xz)-8$.
$\Rightarrow 2xyz\geq \frac{16}{9}(xy+yz+xz)-\frac{16}{9}$.
Do đó: $P\geq (x+y+z)^2-\frac{2}{9}(xy+yz+zx)-\frac{16}{9}\geq 2^2-\frac{2}{9}.\frac{2^2}{3}-\frac{16}{9}=\frac{52}{27}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh