Đến nội dung

Hình ảnh

$P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
blue2000

blue2000

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Cho $x,y,z> 0 ,x+y+z=2$. Tìm GTNN của:

$P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz$



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Ta có: $xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)=(2-2z)(2-2y)(2-2z)=8(1-x-y-z+xy+yz+xz-xyz)$.

$\Rightarrow 9xyz\geq 8(xy+yz+xz)-8$.

$\Rightarrow 2xyz\geq \frac{16}{9}(xy+yz+xz)-\frac{16}{9}$.

Do đó: $P\geq (x+y+z)^2-\frac{2}{9}(xy+yz+zx)-\frac{16}{9}\geq 2^2-\frac{2}{9}.\frac{2^2}{3}-\frac{16}{9}=\frac{52}{27}$.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh