1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $c^{2}+d^{2}=\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{3}$.
Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{c}+\frac{b^{3}}{d}\geq 1$
2. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có:
$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$
3. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có:
$a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab}\leq (a+b+c)^{2}$
4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:
$\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}\leq \frac{3}{4}$
5. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:
$\frac{a^{3}}{a^{2}b+c^{3}}+\frac{b^{3}}{b^{2}c+a^{3}}+\frac{c^{3}}{c^{2}a+b^{3}}\geq \frac{3}{2}$
6. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:
a) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
b) $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{3}{2}+\frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}$
7. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:
a) $\frac{a^{3}}{a^{3}+2abc+3bc(b+c)}+\frac{b^{3}}{b^{3}+2abc+3ca(c+a)}+\frac{c^{3}}{c^{3}+2abc+3ab(a+b)}\geq \frac{1}{3}$
b) $\frac{1}{a^{3}+8abc}+\frac{1}{b^{3}+8abc}+\frac{1}{c^{3}+8abc}\leq \frac{1}{3abc}$
8. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$
9. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:
$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geq \frac{7}{2}\left ( \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \right )+6$
10. Cho $x,y,z\neq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{x^{2}}{x^{2}+(y+z)^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+(z+x)^{2}}+\frac{z^{2}}{z^{2}+(x+y)^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 23-10-2016 - 21:31