Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $c^{2}+d^{2}=\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{3}$.

Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{c}+\frac{b^{3}}{d}\geq 1$

2. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có:

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

3. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có:

$a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab}\leq (a+b+c)^{2}$

4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:

$\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}\leq \frac{3}{4}$

5. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:

$\frac{a^{3}}{a^{2}b+c^{3}}+\frac{b^{3}}{b^{2}c+a^{3}}+\frac{c^{3}}{c^{2}a+b^{3}}\geq \frac{3}{2}$

6. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:

a) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

b) $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{3}{2}+\frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}$

7. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:

a) $\frac{a^{3}}{a^{3}+2abc+3bc(b+c)}+\frac{b^{3}}{b^{3}+2abc+3ca(c+a)}+\frac{c^{3}}{c^{3}+2abc+3ab(a+b)}\geq \frac{1}{3}$

b) $\frac{1}{a^{3}+8abc}+\frac{1}{b^{3}+8abc}+\frac{1}{c^{3}+8abc}\leq \frac{1}{3abc}$

8. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$

9. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:

$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geq \frac{7}{2}\left ( \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \right )+6$

10. Cho $x,y,z\neq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{x^{2}}{x^{2}+(y+z)^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+(z+x)^{2}}+\frac{z^{2}}{z^{2}+(x+y)^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 23-10-2016 - 21:31

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#2
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

2. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có:

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \sqrt{a^{2}+8bc}\leq \sqrt{3\left [ (\sum a^{2}+2\sum ab)+2.3\sum ab \right ]}\leq \sqrt{3\left [ (\sum a)^{2}+2(\sum a)^{2} \right ]}=3(a+b+c)$

 

P/s: Bài này có nhiều cách...


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#3
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

câu 4

$\sum \frac{a}{2a+b+c}\leq\sum \frac{a}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})= \frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c


Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#4
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

http://diendantoanho...um-fraca2a2bc2/. câu cuối


Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#5
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Mọi người làm tiếp mấy câu bất còn lại hộ mình với


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#6
blue2000

blue2000

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

3. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có:

$a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab}\leq (a+b+c)^{2}$

$a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab}$

$=\sqrt{a}\sqrt{a^{3}+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^{3}+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^{3}+8abc}$

$\leq \sqrt{(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc)}$

Cần chứng minh:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc\leq (a+b+c)^{3}$

$\Leftrightarrow 24abc\leq3(a+b)(b+c)(c+a)$

$\Leftrightarrow 8abc\leq(a+b)(b+c)(c+a)$ (đpcm)



#7
blue2000

blue2000

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

7. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:

b) $\frac{1}{a^{3}+8abc}+\frac{1}{b^{3}+8abc}+\frac{1}{c^{3}+8abc}\leq \frac{1}{3abc}$

BPT đã cho

$\Leftrightarrow \frac{bc}{a^{2}+8bc}+\frac{ca}{b^{2}+8ca}+\frac{ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{8}-\frac{bc}{a^{2}+8bc})+(\frac{1}{8}-\frac{ca}{b^{2}+8ca})+(\frac{1}{8}-\frac{ab}{c^{2}+8ab})\geq \frac{1}{24}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+8bc}+\frac{b^{2}}{b^{2}+8ca}+\frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{1}{3}$

Mặt khác

$\frac{a^{2}}{a^{2}+8bc}+\frac{b^{2}}{b^{2}+8ca}+\frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}$

$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8(ab+bc+ca)}$

$=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ca)}$

$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)^{2}}=\frac{1}{3}$ (đpcm)



#8
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

$\frac{a^{3}}{c}+\frac{b^{^{3}}}{d}=\frac{a^{4}}{ac}+\frac{b^{4}}{bd}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{ac+bd}\geq\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{\sqrt{(c^{2}+d^{2})(a^{2}+b^{^{2}})}}=1$ vì $c^{2}+d^{^{2}}=(a^{2}+b^{^{2}})^{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $c=a(a^{2}+b^{2}) ; d=b(a^{2}+b^{2})$


Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#9
toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết

5. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có:

$\frac{a^{3}}{a^{2}b+c^{3}}+\frac{b^{3}}{b^{2}c+a^{3}}+\frac{c^{3}}{c^{2}a+b^{3}}\geq \frac{3}{2}$

Ta có $\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2b+c^3}=\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^3b+c^3a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3b+b^3c+c^3a)}$

Bài toán được giải quyết nếu ta chứng minh được $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

Chứng minh dễ dàng với việc sử dụng AM-GM như sau $a^4+a^2b^2+a^3b\geq 3a^3b$

Từ đây có (Q.E.D)


"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"


#10
toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết

8. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$

 

Ta có $VT=\sum_{cyc}\frac{a^2b}{2a+b}\leq \sum_{cyc}\frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\sum_{cyc}\frac{\sqrt[3]{a^4b^2}}{3}=\sum_{cyc}\frac{\sqrt[3]{(a^2)(ab)(ab)}}{3}\leq \frac{(a+b+c)^2}{9}=1$


"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh