Chủ đề này có 1 trả lời

[The Flash]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh 

$\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\geq a+b+c$

[hanguyen445]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh 

$\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\geq a+b+c$

\[B\ST \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right) + 2\sum {\left( {\frac{{{a^2}}}{{a + {b^2}}} - a} \right)}  \geqslant 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right) - 2\sum {\frac{{a{b^2}}}{{a + {b^2}}}}  \geqslant 0\left( @ \right)\]

\[Do\,\,\,a + {b^2} \geqslant 2b\sqrt a \, \Rightarrow VT\left( @ \right) \geqslant \left( {a + b + c} \right) - \left( {b\sqrt a  + c\sqrt b  + a\sqrt c } \right)\]

\[Cauchy - schawrz:\,\,\,\]

\[b\sqrt a  + c\sqrt b  + a\sqrt c  = \sqrt b .\sqrt {ab}  + \sqrt c .\sqrt {bc}  + \sqrt a .\sqrt {ac}  \leqslant \sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ac} \right)} \]

\[ \Rightarrow VT\left( @ \right) \geqslant a + b + c - \sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ac} \right)}  \geqslant 0\]

\[ \Leftrightarrow a + b + c \geqslant ab + bc + ac\left( {@@} \right)\]

\[Do\,\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3 \geqslant \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \Rightarrow a + b + c \leqslant 3\]

\[ \Rightarrow VT\left( {@@} \right) = \frac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{3} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \geqslant ab + bc + ac \Rightarrow True\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 24-10-2016 - 19:56