Đến nội dung

Hình ảnh

Tuyển chọn những bài toán hay trong đề thi HSG

* * * * - 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 172 trả lời

#21
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 21

 

Câu 1: Tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn
                                                  $P(x^{3})+x(P(x))^{2}=(P(x))^{3}+xP(x^{2})$ với mọi $x \in R$

 

Câu 2: Cho $n$ là số nguyên dương . Chứng minh rằng tồn tại số $m$ thỏa $2^{m} \equiv 2015(mod3^{n})$ và $2^{m} \equiv 3^{2015}(mod5^{n})$

 

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định và $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ . Đường tròn $(I)$ nội tiếp lần lượt tiếp xúc $CA$ và $AB$ ở $E,F$ . $IB , IC$ cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C$ . Gọi $S,T$ là tâm ngoại tiếp $IFN$ và $IEM$ . Lấy $P\in ST$ sao cho $IP || BC$ . Gọi đường thẳng qua $A$ vuông góc $IA$ cắt $(O)$ ở $K$ khác $A$ . Gọi $IK$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $K$ . $J$ là trung điểm $OI$ . Lấy $Q$ thuộc $JL$ sao cho $PQ = PI$ . Chứng minh $IQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển .

 

Câu 4: Cho tập $S$ có $2015$ phần tử . Với mỗi số $n \leq 2^{2015}$ xét $n$ tập con $A_{i}$ phân biệt của $S$ . Đặt $B_{i} = S - A_{i}$ là phần bù của $A_{i}$ trong $S$ . Với $1\leq i \leq n$ được đánh dấu một trong hai tập $A_{i},B_{I}$ . Tìm $n$ nhỏ nhất để mọi cách chọn thì đều có một cách đánh dấu sao cho hợp của các tập được đánh dấu là $S$.



  •  

#22
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 22

 

Bài 1:(4 điểm)
$a)$ giải phương trình $x^3+x+1=3\sqrt[3]{2x-1}$
$b)$ giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{1}{x^2}=y-2x+2\\y^2-3y+4=2x \end{matrix}\right.$
 

Bài 2:(4 điểm)

$a)$ tính tổng tất cả các số tự nhiên có $4$ chữ số lập từ các chữ số $\left \{ 1;2;3;4;5;6 \right \}$
$b)$ phương trình $x+y+2z=500$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương
 

Bài 3:(4 điểm)
$a)$ tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left ( \frac{x+1}{x+2} \right )+2f\left ( \frac{1}{x+2} \right )=3 \ \ \ \forall x\neq -2$
$b)$ tìm $f:\mathbb{Q}_+^*\rightarrow \mathbb{Q}_+^*$ thỏa mãn $xf(x)+yf(y)+2xy=(x+y)f(x+y) \ \ \ \forall x,y\in \mathbb{Q}_+^*$
 

Bài 4:(4 điểm)
$a)$ cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng
$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )$
$b)$ giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^{15}+y^{15}+z^{15}=2015t^{15}+4$
 

Bài 5:(4 điểm)
$a)$ cho ba đường tròn có bán kính $R$ đồng quy tại $I$.Chúng cắt nhau tại các điểm khác nhau là $A,B,C$.Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cũng có bán kính là $R$
$b)$ cho tam giác $ABC$ có góc $A$ bằng $60^0$.$AP$ và $BQ$ là các phân giác.biết rằng $AB+BP=AQ+QB$.Tính góc $B$ và góc $C$



  •  

#23
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 23

 

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
21x + 3y + 48{x^2} - 48{y^2} + 28xy = 69
\end{array} \right.$$
 

Bài 2: Cho $a_1, a_2,..., a_n$ là $n$ số nguyên dương đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
$$\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{a_1+a_2+...+a_n} \geq \frac{1^2+2^2+...+n^2}{1+2+...+n}.$$
 

Bài 3: Cho tam giác $ABC, I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $AB, AC$ tại $C_1, B_1; C_2,B_2$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $AB_2=CB_1; AC_2=BC_1. B_3,C_3$ lần lượt là trung điểm của $BB_2, CC_2$. Chứng minh: $AI$ vuông góc với $ B_3C_3$.

Bài 4: Cho 2010 số 0, 2011 số 1, 2012 số 2. Thực hiện thuật toán sau: Mỗi lần cho xóa đi hai số khác nhau và ghi vào bảng một trong ba số 0; 1; 2 sao cho số được ghi khác với hai số vừa bị xóa. Hỏi sau một hữu hạn bước ta được số cuối cùng còn lại là số nào?



  •  

#24
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 24

 

Câu 1: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 2x^3+1=3zx & & \\ 2y^3+1=3xy & & \\ 2z^3+1=3yz & & \end{matrix}\right.$
 
Câu 2: Cho dãy $\left \{ a_n \right \}$ ( $n\in\mathbb{N^+}$) xác định bởi 
 
$\left\{\begin{matrix} a_1=1,a_2=4 & \\ a_{n+2}=7a_{n+1}-a_n-2 & \end{matrix}\right.$
 
CMR $a_n$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$
 
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt thuộc đoạn $CA,AB$ sao cho $MN$ song song với $BC$. $P$ là điểm di chuyển trên đoạn $MN$. Lấy điểm $E$ sao cho $EP\perp AC$ và $EC\perp BC$. Lấy $F$ sao cho $FP\perp AB$ và $FB\perp BC$
 
a) Chứng minh rằng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển
 
b) Đường thẳng qua $A$ vuông góc $EF$ cắt $BC$ tại $Q$. CMR trung trực $BC$ chia đôi $PQ$
 
c) Gọi $EM$ cắt $FN$ tại $L$. $AQ$ cắt $MN$ tại $R$. Chứng minh rằng $RL\perp BC$
 
Câu 4 Cho đa thứ $P(x)$ thỏa mãn $P(0)=2014!$ và $(x-1)P(x-1)=(x-2015)P(x)$. CMR đa thức $(P(x))^2+1$ không thể phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng $1$
 
Câu 5: Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d=4$. CMR
 
$P=\frac{(a+\sqrt{b})^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{(b+\sqrt{c})^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{(c+\sqrt{d})^2}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{(d+\sqrt{a})^2}{\sqrt{d^2-ad+a^2}}\leq 16$
 



  •  

#25
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 25

 

 

Bài 1 (4,0 điểm)
          1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ , biết tiếp tuyến đó cắt đường tròn (T) có phương trình $x^2+y^2-2x-4y-\frac{11}{5}=0$ tại hai điểm A, B sao cho tam giác IOAB có diện tích lớn nhất, trong đó I là tâm đường tròn (T).
          2. Cho hàm số $y=x^3-3mx^2 +(m-1)x+2m$ có đồ thị $(C_{m})$ và điểm P(1;9). Tìm tất cả giá trị của m để đồ thị  $(C_{m})$  có hai điểm cực trị M, N sao cho tam giác MNP có trọng tâm G(1;3).
 
Bài 2 (6,0 điểm)
          1. Giải phương trình  $\sqrt{3}cos2x+sin2x-(4+\sqrt{3})cosx-sinx+2+\sqrt{3}=0$            
          2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, sao cho trong mỗi số tự nhiên đó chữ số 1 có mặt đúng hai lần, chữ số 2 có mặt đúng một lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần?
         
          3. Giải hệ phương trình  $\left\{\begin{matrix} x^2(1+y^2)+y^2(1+x^2)=4\sqrt{xy}\\ x^2y\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}=x^2y-x \end{matrix}\right.$
 

Bài 3 (4,0 điểm)
               Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB=a, BC=2a, góc ACB = $30^{\circ}$ , hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và đường thẳng AA' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $60^{\circ}$ .
          1. Tính theo a thể tích khối chóp A'.BCC'B và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC.
          2. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng B'C' và A'C.
 

Bài 4 (2,0 điểm)
               Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C): x^2+y^2-6x+2y+1=0$ và đường thẳng (d): 2x+y+1=0 và điểm $K(4;-\frac{9}{2})$ . Tìm tọa độ điểm M trên (d) để từ điểm M đó kẻ được hai tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A, B là hai tiếp điểm) sao cho khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng AB là lớn nhất.
 

Bài 5 (4,0 điểm)

          1. Giải phương trình $log_{2}(\frac{7^x+3^x}{4x+1})=8x+3-7^x-3^x$
          2. Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
                                    $P=7(a^4+b^4+c^4)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ .



  •  

#26
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 26

 

Câu 1: Cho hs $y=x^3+x^2+mx-1$ có đò thị (Cm).
1. Tìm m dể (Cm) có điểm cực đại và cực tiểu  sao cho hoành độ điểm cực đại và cực tiểu đề âm
2. Tìm m để đường thẳng d: y=-2x-1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biết A(0;-1), B, C sao cho tếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau

 

Câu 2: Từ các số 1, 2, ..., 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho:
1) Số đó luôn có chữ số 2
2) Số tự nhiên đó có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ thỏa mãn $a_{1}a_{4}>a_{5}${2}

 

Câu 3: Giải hệ pt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y+1}\\ \sqrt{2xy+x+6}=4y-1-\frac{6}{x} \end{matrix}\right.$
 

Câu 4: Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $x_{1}=3$ và $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}^{2}+1)$. Đặt $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}+1}$. Tìm phần nguyên$[S_{2015}]$ và$limS_{n}$
 

Câu 5: Cho x, y, z dương thỏa mãn xy+yz+zx=2xyz. Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt{\frac{x}{2y^2z^2+xyz}}\leq 1$

 

Câu 6: Trong (Oxy) cho tam giác ABC với đường cao AH có pt: $x-3\sqrt{3}=0$; đường phân giác trong từ B và C lần lượt có pt: $x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$ và $x+\sqrt{3}y-4\sqrt{3}=0$; bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1. Viết pt các cạnh của tam giác ABC  biết A có tung độ âm.

 

Câu 7: Cho tam giác ABC, trên các cạnh ABC lấy các điểm A', B', C' sao cho các đường thẩng AA', BB', CC' đồng qui tại M. Gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ là diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{S_{1}}{BC}}+\sqrt{\frac{S_{2}}{CA}}+\sqrt{\frac{S3}{AB}}\leq \sqrt{3R-R(cos^2A+cos^2B+cos^2C)}$



  •  

#27
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

cái này là của cả THCS & THPT hay mình THPT vậy bạn



#28
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 27

 

Bài 1: Giải phương trình:
$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$
 

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa
$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$
 

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): $y=-x^{2}+4px-p+1$ với p là một số hữu tỷ. Gọi S là diện tích tam giác có 2 đỉnh là 2 giao điểm của parabol (P) với trục hoành và đỉnh thứ ba là đỉnh của parabol (P). Tìm tất cả các số hữu tỷ p để S là một số nguyên.
 

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$
Chứng minh rằng: 
$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$
 

Bài 5: Cho các số nguyên dương $k_{1}<k_{2}<...<k_{n}<k_{n+1}<...$, trong đó không có 2 số liên tiếp. Đặt $S_{n}=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}$. Chứng minh rằng $\left [S_{n};S_{n+1} \right )$ có ít nhất một số chính phương với mọi n.
 

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.



  •  

#29
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 28

 

Câu 1 (4 điểm)
Cho họ đường cong $(C_m):y=x^3+3x^2+mx+1$ ( $m$ là tham số ).
a) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, $(C_m)$ luôn có hai điểm chung $A,B$ phân biệt với đồ thị $(C ):y=x^3+2x^2+7$.
b) Chứng minh khi $m$ thay đổi, trung điểm của đoạn $AB$ luôn thuộc một đường cong cố định.
 
Câu 2 (4 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$f(x)=x^2+\dfrac{9}{x}-10x+17lnx$$
b) Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh :
$$(a+b+c)^2+7(ab+bc+ca)\geq 10(a+b+c)$$
 
Câu 3 (3 điểm)
Cho các số dương $a,b,c,d$ thoả mãn :
$$\left\{\begin{matrix} a^2+d^2-ad=b^2+c^2+bc\\ a^2+b^2=c^2+d^2 \end{matrix}\right.$$
Tính giá trị biểu thức :
$$P=\dfrac{ab+cd}{ad+bc}$$
 
Câu 4 (3 điểm) 
Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nhau. Một mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt các cạnh $OA,OB,OC$ theo thứ tự tại $A',B',C'$ thoả $\overline{OA.}\overline{OA'}=\overline{OB.}\overline{OB'}=\overline{OC.}\overline{OC'}$. Chứng minh trọng tâm tam giác $A'B'C'$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
 
Câu 5 (3 điểm)
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $BD$ là phân giác trong góc $ABC$. Đường tròn $(ABC)$ cắt $AD,CD$ tại $P,Q$ tương ứng. Một đường thẳng qua $D$ song song $AC$ cắt $BC,BA$ tại $R,S$ tương ứng. Chứng minh $P,Q,R,S$ đồng viên.
 
Câu 6 (3 điểm)
Xét $n$ điểm $P_1,P_2,...,P_n$ theo thứ tự trên một đường thẳng. Ta tô màu mỗi điểm bởi một trong năm màu là trắng, xanh, vàng, đỏ, nâu. Một cách tô màu có thể chấp nhận được nếu với mỗi hai điểm liên tiếp $P_i,P_{i+1}$ ($i=1,2,...,n-1$) hoặc là cả hai được tô cùng màu hoặc ít nhất một trong hai điểm được tô màu trắng. Tính số cách tô màu chấp nhận được.



  •  

#30
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 29

 

Câu 1(2đ):
Giải hệ pt sau:
$ \left\{\begin{matrix}x+ \sqrt{x^2+1}=2006^y \\y+ \sqrt{y^2+1}=2006^x \end{matrix}\right. $

Câu 2(2đ):
1)Cho đa thức $P(x)= a_{0} + a_{1} cosx+ a_{2} cos2x+..+ a_{2006} $cos2006x với hệ số thực.CMR:nếu$ P(x)>0 \forall x \in R$ thì $a_{0} >0.$
2)Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số$ y= \dfrac{x^2-2mx+m}{x+m}$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.

Câu 3(2đ):
1) Cho các số thực dương a,b,c t/m abc=1.CMR:
$ \dfrac{1}{a^2+2b^2+3} + \dfrac{1}{b^2+2c^2+3} + \dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \leq \dfrac{1}{2}$ .
2)Cho tứ diện ABCD.CMR: 1 trong 3 số $aa'cos \alpha ,bb'cos \beta ,cc'cos \gamma$ bằng tổng của 2 số còn lại .Trong đó:
a=BC,a'=AD,b=CA,b'=BD,c=AB,c'=CD,$ \alpha =(BC,AD), \beta =(AC,BD), \gamma =(AB,CD).$

Câu 4(2đ):
Cho dãy số thực:
$ x_{1} =2006; x_{n+1} = \sqrt{3}+ \dfrac{ x_{n} }{ \sqrt{ x_{n}^2-1 } } $ .
Tính $ \lim_{n\to+ \infty } x_{n} .$

Câu 5(2đ):
Cho tam giác ABC và 2 điểm M,N thuộc cạnh BC,P,Q lần lượt thuộc các cạnh CA,AB sao cho MNPQ là hình vuông.Nhận dạng tam giác ABC biết:
$ \dfrac{AM}{AN} = \dfrac{AC+ \sqrt{2}AB }{AB+ \sqrt{2}AC } $.



  •  

#31
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 30

 

Bài 1
a) tính tổng $S=cosx+cos3x+cos5x+...+cosx(2n-1)x$
b) cho hàm số f(x) xác định trên [0;1] và thỏa
$f(0)=0$ ; $f(1)= 1$
$6f( \dfrac{2x+y}{3} )=5f(x)+ f(y)$
Tính $f( \dfrac{8}{23} )$
 

Bài 2
cho a,b,c là các số thực thõa điều kiện
tìm Max của $P= \dfrac{2}{a^2 +1}- \dfrac{2}{b^2 +1}+ \dfrac{3}{c^2 +1} $
 

Bài 3
cho hê phương trình
$ax^2+bx+c=y$
$ay^2+by+c=z$
$az^3+bz+c=x $
đặt $ \delta= (b-1)^2 -4ac$
chứng minh rằng nếu $\delta <0$ thì hệ phương trình trên vô nghiệm
 

Bài 4
cho dãy hàm số ${ f_{n}(x) $} xác định bởi
$ f_{1}(x)= \sqrt{x^2 +108} $
$ f_{n}(x)= \sqrt{x^2+9 f_{n-1}(x) } $
tìm tất cả các nghiệm thực của phươgn trình
$f_{n}(x)=2x, n \in N* $
 

Bài 5
cho tứ diện $ABCD$ nội tiếp trong mặt cầu tâm $(O)$ bán kính$ R$ .Vẽ các đường cao $CC'$ và$ DD' $của tứ diện .Giả sử $C'$ trùng với tân đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$, $D'$ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC $và $AB=BD$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên mặt cầu $(O).$tính $MA^2+MB^2+MC^2$ theo$ R $



  •  

#32
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỂ SỐ 31

 

Câu 1: Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^2-y+2 \right )\left ( y^2-x+2 \right )=0\\ x+y+3=3\sqrt{2y-1} \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2: Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $k$ là số nguyên dương không lớn hơn $2p$ . Chứng minh rằng :

$$\textrm{C}_{2pk}^{2p}\equiv k\left ( 2k-1 \right )(modp)$$

 

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp có tâm là $I$ tiếp xúc với

cạnh $BC$ ở điểm $D$. Đường thẳng qua $I$ song song với $BC$ cắt $AB,AC$ ở các điểm $E,F$. Gọi $X$ là giao điểm của các đường thẳng $AB,DF$ và $Y$ là giao điểm của các đường thẳng $AD,DE$. Các đường thẳng $AD$ và $XY$ gặp nhau ở $Z$. Chứng minh rằng :


  • Tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng qua $Z$ và song song với $BC$.
  • Tam giác $BCZ$ cân.

Câu 4. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\leq 1,y\leq 2$ và $x+y+z=6$. Chứng minh rằng 

$$\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )\geq 4xyz.$$



  •  

#33
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 32

 

Bài 1: (2 điểm)
Xác định tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho tồn tại số tự nhiên $m$ để $m^2+9$ chia hết cho $2^n-1$
 

Bài 2: (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}^*$ thỏa mãn:
$$f(xf(y)).f(y)=f(x+y)\; \forall x>0,\forall y>0$$
($\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương).
 

Bài 3: (3 điểm)
Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ac$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a+b+c+\frac{1}{abc}-\frac{9}{a+b+c}.$$
 

Bài 4: (4 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ thỏa mãn $AB<BD$ và $CA=CD.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ cắt $AB$ tại $F$ ($F$ khác $A,F$ khác $B$). Chứng minh rằng các đường thẳng $AI$ và $EF$ vuông góc với nhau.

Bài 5: (4 điểm)
Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $$u_1=2015;u_{n+1}=u_n^2-2014u_n+2014 \; \forall n\in \mathbb{N}$$
Chứng minh với mọi $n$ nguyên dương các số $u_1,u_2,...u_n$ đôi một nguyên tố cùng nhau.
 

Bài 6: (3 điểm)
Cho tập hợp $M=\{-1;0;1\}$. Tìm các bộ số $(a_1;a_2;...;a_{2014})$ thỏa mãn điều kiện $a_i\in M\forall i=\overline{1,2014}$ và $a_i-a_{i+1}\in M \; \forall i=\overline{1,2013}$



  •  

#34
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 33

 

Câu 1:

a) Giải phương trình: \[2(x^2-3x+2)=3 \sqrt{x^3+8}\]
b) Cho $a,b,c,d,e,f$ nguyên dương.
Đặt $S=a+b+c+d+e+f; Q=ab+bc+ca-de-ef-fd; R=abc+def$. Biết rằng $S | Q$ và $S | R$. Chứng minh rằng $S$ là hợp số.

Câu 2:

a) 3 góc $x,y,z$ thỏa $0 \le x \le y \le z \le 2\pi$ và thỏa: $\cos x + \cos y + \cos z = \sin x + \sin y + \sin z=0$. Chứng minh $x,y,z$ lập thành $1$ cấp số cộng.
b) Cho dãy ${u_n}$ xác định: \[u_1=1; u_{n+1}=1+u_1u_2...u_{n}\]
Đặt $S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_k}$ . Tìm $\lim S_n$.

Câu 3:

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thang $(AD//BC)$ và $AD=2BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB$. Mặt phẳng $(DMN)$ cắt $SC$ tại $P$. Tính tỉ số $\frac{CP}{CS}$.

Câu 4:

Trong $\Delta ABC$, $M$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống đường phân giác trong của góc $\angle BCA$. $N,L$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh $A,C$ xuống đường phân giác trong của góc $\angle ABC$. Gọi $F$ là giao điểm của các đường thẳng $MN$ và $AC$, $E$ là giao điểm của các đường thẳng $BF$ và $CL$, $D$ là giao điểm của $BL$ và $AC$. Chứng minh rằng: $DE // MN$.

Câu 5:

Cho hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{N}^{*}$ với $f(1)=2^2013$ thỏa: \[ (1+[f(n)]^2).f(n+1)=[f(n)]^2\]
Chứng minh rằng $f(n) \le 1, \forall n>2014$.



  •  

#35
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 34

 

Câu 1: (3đ)
Giải phương trình sau trên tập số thực.
$x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$
 

Câu 2: (3đ)
Cho số nguyên dương n và $d_1$ là 4 ước nguyên dương nhỏ nhất của n. TÌm tất cả các số nguyên n sao cho$n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2$.
 

Câu 3: (3đ)
Trong mặt phẳng cho góc xOy và hai điểm A nằm trên Ox, B nằm trên Oy sao cho tam giác OAB cân tại O. $\Delta$ là một đường thẳng di động không đi qua O nhưng đi qua trung điểm I của BA và cắt các tia Ox,Oy lần lượt tại các điểm C,D. Gọi M là trung điểm CD, N là giao điểm OM và AB, H là hình chiêu vuông góc của N trên CD. Khi $\Delta$ di động, hãy tìm quỹ tích điểm H
 

Câu 4: (4đ)
Cho a,b,c là 3 số thực không âm thoả mãn$a^2+4b^2+9c^2=14$
Chứng minh rằng$3b+8c+abc\leq 12$
 

Câu 5: (3 đ)
Chứng minh rằng từ 2011 số nguyên dương bất kì luôn có thể chọn ra được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 4018
 

Câu 6: (4đ)
Cho elip (E)$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ và đường thẳng ($\Delta$): $\sqrt{2}x-2y+4=0$. Gọi B,C là giao điểm của ($\Delta$) và (E), $y_b>y_c$ và A là tiếp điểm trên (E) sao cho khoảng cách từ A đến ($\Delta$) là lớn nhất. Tìm điểm M trên (E) để khoảng cách từ M đến đường thẳng AB là lớn nhất.



  •  

#36
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 35

 

Câu 1. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2y=\left ( x-y \right )\left ( y+3x \right )                    (1) & \\ 3\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\frac{y^{2}}{x}+x-3y=0     (2) & \end{matrix}\right.$
 
Câu 2. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120^{o}$. Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng $AB+AC$.
 
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho các số dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, nằm trên một đoạn $\Delta$ có độ dài bằng $2$, với $n\geq 2$. Chứng minh rằng:
$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leq \sqrt{x_{1}x_{2}+1}+\sqrt{x_{2}x_{3}+1}+...+\sqrt{x_{n}x_{1}+1}\leq x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+n$.
 
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho các dãy số $\left ( a_{n} \right )$ và $\left ( b_{n} \right )$ thõa mãn các điều kiện: $a_{1}=1,b_{1}=2$ thì
$a_{n+1}=\frac{1+a_{n}+a_{n}b_{n}}{b_{n}},b_{n+1}=\frac{1+b_{n}+a_{n}b_{n}}{a_{n}}$
Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$.
 
Câu 5. (4,0 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên có $2013$ chữ số mà số các chữ số $0$ xuất hiện là chẵn?



  •  

#37
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 36

 

Câu 1 (6 điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) $\sqrt{x^2-3x+2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{x-2} + \sqrt{x^2+2x-3}$
b) $2\cos^3x + \cos 2x + \sin x = 0$
c) $\begin{cases} 2x^2 - 8xy^2 - xy + 4y^3 = 0 \\ 16x^3 + 2x - 8y^2 + 5 = 0 \end{cases}$
 
Câu 2 (4 điểm). Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau:
$$\begin{cases} x_1 = 2014 \\ x_n = \frac{1}{2} \left( x_{n-1} + \frac{2015}{x_{n-1}} \right), \forall n  \geq 2\end{cases}$$
Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
 
Câu 3 (3 điểm). Cho tập hợp $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$. Có bao nhiêu tập con $X$ của $A$ thỏa mãn điều kiện $X$ chứa $1$ và không chứa $2$.
 
Câu 4 (4 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $I$ là trung điểm của $BC, SA$ vuông góc với $(ABC)$ . Gọi $H,O$ lần lượt là trực tâm của $\Delta SBC, \Delta ABC$, $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $SA$ và $OH$. Chứng minh rằng:
a) $OH$ vuông góc với $(SBC)$
a) $SO$ vuông góc với $IK$.
 
Câu 5 (3 điểm). Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$P=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+b)}+\frac{1}{c^3(b+c)} \geq \frac{3}{2}$$



  •  

#38
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 37

 

Câu 1 (3,0 điểm) 
 
a) Giải phương trình : $8\sin^2x\cos x-\sqrt{3}\sin x-\cos x=0$.
 
b) Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}2x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{2}{y}=6 \\ \left(x^2+y^2\right)\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)^2=8 \end{array}\right.$ $\left(x,y\in \mathbb{R}\right)$.
 
 
Câu 2 (2,0 điểm)
 
Cho dãy số $\left\{\begin{array}{l}u_1=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3} \end{array}\right.$ $\left(n\in \mathbb{N^*}\right)$.
 
a) Chứng minh $u_n>1,\forall n\in \mathbb{N^*}$ và $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.
 
b) Tìm $\displaystyle \lim \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{u_i^{2014} + 2}}}$.
 
Câu 3 (2,5 điểm)
 
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và tất cả các cạnh của hình chóp có độ dài bằng $\sqrt{2}$. $M$ là một điểm trên đoạn $AO$ và $AM=x\ (0<x<1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với $AD$ và $SO$.
 
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(P)$. Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
 
b) Tính diện tích của thiết diện theo $x$.
 
Câu 4 (1,5 điểm) Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 chữ cái từ bộ chữ cái MAYMAN thành một hàng sao cho mỗi cách sắp xếp 2 chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau.
 
Câu 5 (1,0 điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng : $$ \frac{a}{{\sqrt {4{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {4{b^2} + {c^2} + {a^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {4{c^2} + {a^2} + {b^2}} }} \leqslant \sqrt {\frac{3}{2}} $$



  •  

#39
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 38

 

Câu 1 (2,0 điểm)
 
Tìm các giới hạn 
 
a) $A = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{{1 + 2 + 4 + ... + {2^n}}}{{1 + 5 + 25 + ... + {5^n}}}$.
 
b) $B = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2014x} .\sqrt[3]{{1 + 2015x}} - 1}}{x}$.
 
Câu 2 (2,0 điểm)
 
a) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số $m$ : $ 2014x^{2015}-x^3+mx^2+1=m $.
 
b) Giải phương trình $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x\left( {1 + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)$.
 
Câu 3 (2,0 điểm)
 
Cho dãy số $\left\{\begin{array}{l} u_1=3 \\ u_{n+1}=\dfrac{2n}{n+1}u_n-\dfrac{1}{n+1} \end{array}\right.$ $\left(n\in \mathbb{N^*}\right)$
 
a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$.
 
b) Tìm $n$ để $nu_n$ là số chính phương.
 
Câu 4 (2,5 điểm)
 
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tiếp tuyến chung gần $B$ của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với $(O)$ và $(O')$ tại $C$ và $D$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song $CD$ cắt $(O)$ và $(O')$ lần lượt tại $M$ và $N$. Các đường thẳng $BC, BD$ lần lượt cắt $MN$ tại $P$ và $Q$. Các đường thẳng $CM,DN$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh rằng :
 
a) Đường thẳng $AE$ và $CD$ vuông góc với nhau.
 
b) Tam giác $EPQ$ cân.
 
Câu 5 (1,5 điểm)
 
Mỗi số nguyên từ 1 đến $n\ (n\geqslant 3)$ được tô bởi hai màu : xanh hoặc đỏ. Tìm số nguyên $n$ nhỏ nhất để với mọi cách tô màu, đều tồn tại ba số cùng màu lập thành cấp số cộng.



  •  

#40
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 39

 

Bài 1: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy+y\sqrt{x^2-y^2}}{14} =\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}}& & \\ \sqrt{\left ( \frac{x+y}{2} \right )^3}+\sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^3}=9& & \end{matrix}\right.$$
 

Bài 2: Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$
$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$
$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?
 

Bài 3: Cho dãy $(U_n)$ xác định bởi:$-1<U_0<1,U_n=\sqrt{\frac{1+U_{n-1}}{2}}$
Với $n=1,2,...$
Hai dãy $(V_n)$ và $(W_n)$ được xác định như sau:$V_n=4^n(1-U_n)$ và $W_n=U_1U_2...U_n$
Tìm $\lim V_n$ và $\lim W_n$
 

Bài 4: 
$1.$ Cho tam giác $ABC$. Các đường phân giác $BD,CE$ của tam giác cắt nhau tại $I$.
Chứng minh rằng: Tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi $S_{BCDE}=2S_{BIC}$
$2.$ Cho hình chóp $SABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các tia $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho: $SA.SA'=SB.SB'=SC.SC'$. Vẽ $SH\perp (A'B'C')$ cắt $(ABC)$ tại $G$
$a.$ Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$b.$ Cho $SA=a,SB=b,SC=c$. Gọi $r$ là bán kình mặt cầu nội tiếp hình chóp $SABC$.
Chứng minh:$$r=\frac{S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}-S_{ABC}}{a+b+c}$$
 

Bài 5: Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:$$\left\{\begin{matrix} \log_{x^2+y^2}(x-y)\geq 1 & & \\ x-2y=m & & \end{matrix}\right.$$



  •  




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh