Chủ đề này có 172 trả lời

[LTTK]

ĐỀ SỐ 77

 

Câu 1:
1) Cho hàm số $y=x^3-3mx+1 (Cm)$. Tìm các giá trị của m để:
a) (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
b) (Cm) có 2 điểm cực trị A,B và $\in (-4;-1)$ tạo 1 tam giác có $S=10$

2) Tìm $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2011x^2-cosx}{sin^2x}$

Câu 2:
1) Cho $\left\{\begin{array}{1} & x,y>0 & \\ & x+y+xy=8 & \end{array}\right.$
Tìm min, max: $P=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}{xy+1}$

2) Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{1} & x^3+\sqrt{x^2+2y+1}=x^2y+y+1 & \\ & (x+y-1)\sqrt{y+1}=10 & \end{array}\right.$

Câu 3:
1) Trong Oxy cho ©: $(x-6)^2+(y-1)^2=36$
Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;0) cắt © tại 2 điểm A,B sao cho AB=6AM

2) Cho hình chóp S.ABC
a) $\Delta ABC$ vuông tại A; $AB=3a; AC=4a; SA=2a$ Góc $SCA = 30^0$; $(SAC)\perp (ABC)$. Tính $V_{SABC}; d_{(G;SBC)}$ (G là trọng tâm $\Delta ABC$)

b) $A^'$ là trọng tâm $\Delta ABC$; (P) đi qua $AA^'$ và cắt SB, SC tại M, N.
CMR: $\dfrac{4}{9}\leq \dfrac{V_{SAMN}}{V_{SABC}}\leq \dfrac{1}{2}$

Câu 4: Giải phương trình
$\dfrac{2sin^3(\dfrac{\pi}{3}-x)-sin(2x-\dfrac{\pi}{6})+sin(x+\dfrac{\pi}{6})}{\sqrt{2}(sinx+cosx)-1}=0$

Câu 5: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=9$
CMR: $log_3(a^3+18)+log_3(b^3+18)+log_3(c^3+18)\geq 9$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 78

 

Bài 1 (5,0 điểm). 
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{3}{2a+b+\sqrt{8bc}}+\frac{3}{2}\geq \frac{8}{\sqrt{2b^2+2\left ( a+c \right )^2}+3}+\frac{1}{a+b+c}.$$
 

Bài 2 (5,0 điểm).
Cho dãy số $\left ( u_n \right )$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2012u_n+2}{2015} \end{matrix}\right.$  $\left ( n=1,2,3,... \right )$
Thành lập dãy $\left ( v_n \right )$ với $v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}.$ Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_n.$
 

Bài 3 (5,0 điểm).
Người ta viết sẵn trên bảng đen $n$ số nguyên dương $1,2,...,n$ với $n \geq 2$ và cho thực hiện trò chơi như sau: Ở mỗi bước đi, người chơi được phép chọn tùy ý hai số đang có trên bảng, xóa chúng đi và viết vào đó một số bằng hai lần tổng của hai số vừa được xóa. Trò chơi kết thúc sau $n-1$ bước đi. Số duy nhất có mặt trên bảng sẽ là số viên kẹo mà người chơi được thưởng. Chứng minh rằng dù chơi thế nào người chơi cũng được thưởng nhiều hơn $\dfrac{4n^3}{9}$ viên kẹo.
 

Bài 4 (5,0 điểm).
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn $\left ( O_1 \right ),\left ( O_2 \right )$ có bán kính không bằng nhau và tiếp xúc ngoài với nhau tại $T.$ Kẻ $O_1A$ tiếp xúc với $\left ( O_2 \right )$ tại $A$, $O_2B$ tiếp xúc với $\left ( O_1 \right )$ tại $B$ sao cho $A,B$ nằm về cùng một phía với $O_1O_2.$ Lấy $H$ thuộc $O_1A$, $K$ thuộc $O_2B$ sao cho $BH$ và $AK$ cùng vuông góc với $O_1O_2$, $TH$ cắt $\left ( O_1 \right )$ tại $E$, $TK$ cắt $\left ( O_2 \right )$ tại $F$, $O_1A$ cắt $O_2B$ tại $I$, $EF$ cắt $AB$ tại $S.$
a) Chứng minh $IT$ là phân giác góc $O_1IO_2.$
b) Chứng minh ba đường thẳng $O_1A,O_2B$ và $TS$ đồng quy.
 

Bài 5 (7,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
$2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),k\geq n$ và $f(1)=1.$
 
Bài 6 (7,0 điểm).
1) Cho $11$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{11}.$ Chứng minh rằng luôn tồn tại các số $x_i\in \left \{ -1;0;1 \right \}\left ( i=1;2;...;11 \right )$ không đồng thời bằng $0$ sao cho $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$ chia hết cho $2047.$
2) Cho đa thức $P(x)$ với các hệ số nguyên, chia hết cho $3$ khi $x$ lấy các giá trị nguyên $k,k+1,k+2.$ Chứng minh rằng $P(m)$ chia hết cho $3, \forall m \in \mathbb{Z}.$
 
Bài 7 (6,0 điểm).
Trên mặt phẳng cho điểm $I$ cố định và ba đường tròn $\left ( O_1;R_1 \right ),\left ( O_2;R_2 \right ),\left ( O_3;R_3 \right )$ cùng qua $I$; ngoài ra $A,B,C$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $(O_2)$ và $(O_3)$, $(O_3)$ và $(O_1)$, $(O_1)$ và $(O_2)$. Biết rằng $I$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng $d_1$ tiếp xúc với $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $M,N$ và không cắt $(O_3)$, đường thẳng $d_2$ tiếp xúc với $(O_2),(O_3)$ lần lượt tại $P,Q$ và không cắt $(O_1)$, đường thẳng $d_3$ tiếp xúc với $(O_3),(O_1)$ lần lượt tại $E,F$ và không cắt $(O_2)$. Giả sử các đường tròn $(O_1),(O_2)$ và $(O_3)$ thay đổi sao cho $R_1^2+R_2^2+R_3^2 \leq 3$. Hãy tính bán kính của các đường tròn $(O_1),(O_2)$ và $(O_3)$ và khoảng cách giữa các tâm các đường tròn đó sao cho tổng $S=S_{\triangle IMN}+S_{\triangle IPQ}+S_{\triangle IEF}$ lớn nhất.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 79

 

Câu 1 :
             a. Giải phương trình :             $${x^6} - 12{x^2} + 3\sqrt {15} = 0\,\,(x \in\mathbb{R} )$$
          b.$\left\{\begin{matrix} 23\sqrt {10 - x} + 2y\sqrt {11 - y} = 2x\sqrt {10 - x} + 25\sqrt {11 - y} \\ 6{x^2} + 10{y^2} - x = 15 \end{matrix}\right.$
 
Câu 2:  Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = 2CK. Gọi M là trung điểm cùa AC, H là hình chiếu của A trên BK. Giả sử $$\widehat {ABK} = 2\widehat {CBK}$$ , chứng minh rằng MH vuông góc với BC
 
Câu 3: Cho $a,b,c$  là các số thực dương và $$a + b + c = 1$$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{3a + bc}}{{a + bc}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{3b + ca}}{{b + ca}}} \right) + \frac{{\sqrt {abc} }}{{c + ba}}$$
 
Câu 4:  Cho dãy số $$({u_n})$$  xác định bởi $${u_1} = 2015,{u_{n + 1}} = \frac{{u_n^3 + {{2014}^2}}}{{u_n^2 - {u_n} + 4028}},\forall n \in {^\mathbb{N}*}$$ . Đặt $${v_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{u_k^2 + 2014}}} ,\forall n \in {^\mathbb{N}*}$$ . Tính$$\lim {v_n}$$
 
Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái từ bộ chữ cái THITOANHOC sao cho trong mỗi cách sắp xếp hai chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau

[LTTK]

ĐỀ SỐ 80

 

Bài 1 (3 điểm)
Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(m,n)$ để phương trình $x^3-17x^2+mx-n^2=0$ có ba nghiệm nguyên $($ có thể trùng nhau $)$
 
Bài 2 (3 điểm)
Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn các điều kiện sau $:$
$i)$    $f$ tăng trên $ \mathbb{N}^*$
$ii)$   $f(xy)=f(x)f(y)\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{N}^*$
$iii)$   Nếu $x,y\in \mathbb{N}^*:x\neq y$ và $x^y=y^x\Rightarrow \left ( f(x)-y \right )\left ( f(y)-x \right )=0$
 
Bài 3 (3 điểm)
Cho dãy số $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=a>3\\x_{n+1}=x_n^2-2x_n\ \ ;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ với $y_n=\frac{(x_1-1)(x_2-1)...(x_n-1)}{x_{n+1}}\ \ ;\forall n\ge 1$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
 
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.$K$ là một điểm tùy ý trên $BC$ $(K\neq B,C,D)$,gọi $I=\left ( BFK \right )\cap \left ( CEK \right )$
$a)$ Chứng minh rằng $IH\perp AK$
$b)$ Xác định vị trí điểm $K$ để $EF,IH,BC$ đồng quy
 
Bài 5 (3 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình

$\left | 2^x-y^z \right |=1$

 

Bài 6 (4 điểm)
Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$
$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$
$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó

[LTTK]

ĐỀ SỐ 81

 

Câu 1:(5 điểm)
   Cho dãy số {$y_n$} thỏa mãn: $y_{1}>0, y^2_{n+1}=y_{1}+y_{2}+...+y_{n}$ với $n \geq 1$. CMR: dãy số {$\frac{y_{n}}{n}$} có giới hạn và tìm giới hạn đó.
 
Câu 2:(6 điểm)
   1, Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Một đường tròn tiếp xúc với tia AB,AC lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại T. Tiếp tuyến tại A và T với (O) cắt nhau tại K. Đường thẳng TE cắt (O) tại điểm M khác T. CMR: K,M,N thẳng hàng.
 
   2, Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có đường kính AC vuông góc với BD tại điểm H. Gọi I,J,K,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng AB,BC,CD,DA. Biết IK và JL đều không đi qua H. CMR: giao điểm của IK và JL nằm trên OH.
 
Câu 3:(4 điểm)
   Cho số nguyên dương m và số nguyên tố p với p>m. CMR: số các số nguyên dương n sao cho đa thức $f(x)=mx^2 - (m + n - p)x + n$ có nghiệm hữu tỉ bằng số ước nguyên dương của m.
 
Câu 4:(5 điểm)
   Cho một dãy 2016 ô vuông kề nhau xếp thành một hàng dài. Có bao nhiêu cách điền các số 1,2,3,4,5 vào các ô vuông đó sao cho mỗi ô vuông chỉ điền một số và hiệu hai số trong hai ô kề nhau chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 82

 

Câu 1: Giải hệ phương trình:
 $\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2=y\\ 3y^3+2y^2=z\\ 3z^3+2z^2=x \end{matrix}\right.$
 

Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:
       $x_1=\frac{1}{2}; x_{n+1}=\frac{2014+x_n}{2016-x_n}$ với mọi $n=1,2,...$.
a. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
b. Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,$ đặt $y_n=\frac{1}{2013n+2015} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k-2014}.$ Tính $\lim y_n$
 

Câu 3: Cho 2 đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $M$. Tiếp tuyến chung ngoài $AB$, ($A$ thuộc $(C_1)$, $B$ thuộc $(C_2)$). Trên tia $Mx$ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ( $Mx$ không cắt $AB$) lấy điểm $C$ khác $M$. Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $CA$ với $(C_1)$, $CB$ với $(C_2)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $E$, tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $F$ và $Mx$ đồng quy.
 

Câu 4: Cho số nguyên dương $n\ge 2.$ Chứng minh rằng $m=2n^2-1$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương $a_1, a_2,...,a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
  i, $a_1<a_2<...<a_n=m$
  ii, Tất cả $n-1$ số $\frac{a_1^2+a_2^2}{2}, \frac{a_2^2+a_3^2}{2},...,\frac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ đều là các số chính phương.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 83

 

Câu 1:
Giải phương trình: $13\sqrt{x^2-2x^4}+9\sqrt{x^2+2x^4}=8\sqrt{2}$

 

Câu 2:
cho a,b,c là các số thực dương thỏa abc=1 chứng minh rằng
$a^3+b^3+c^3+a+b+c\geqslant 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

 

Câu 3:
cho dãy số $u_{n}$ được xác định bởi $u_{1}$=2 và $u_{n+1}=\sqrt{\frac{3-u_{n}}{2}}+1$
tính giới hạn $u_{n}$

 

Câu 4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O). một đường tròn(L) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần lượt tại P,Q và tiếp xúc trong với(O) tại S.Hai đường thẳngSP,SQ cắt lại (O) theo thứ tự là M,N.Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AM,MN,NA.
a) chứng minh SM.AN=SN.AM
b) chứng minh D là trung điểm của EF

 

Câu 5:
cho 2015 tờ giấy,trên mỗi tờ giấy có ghi số 1,ta thực hiện các bước sau:Mỗi bước ta lấy hai tờ giấy bất kỳ trong 2015 tờ trên,nếu các số trên hai tờ là a,b thì ta xóa các số đó đồng thời ghi a+b lên cả hai tờ đó.Chứng minh rằng sau 2016 bước thực hiện thì tồng các số trên 2015 tờ giấy không nhỏ hơn 2015.$4^\frac{2016}{2015}$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 84

 

Câu 1 (5 điểm)
Giải phương trình $x^5-15x^3+45x-27=0$
 
Câu 2 (5 điểm)
Tìm hàm $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn

$3f(3x)=f(x)+x\ \ ,\forall x\in \mathbb{R}$

 
Câu 3 (5 điểm)
Cho tam giác $ABC$,$M$ là điểm nằm trong của tam giác.Gọi khoảng cách từ $M$ đến cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt là $d_c,d_a,d_b$ và khoảng cách từ $M$ đến các đỉnh $A,B,C$ lần lượt là $x,y,z$.Chứng minh rằng

$\frac{x+y+z}{d_a+d_b+d_c}\ge 2$

 

Câu 4 (5 điểm)
Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2(x+y+z)-15=0\\2x+4y+7z-2xyz=0 \\\frac{1}{\sqrt{3x}}+\sqrt{10y}+\sqrt[4]{8z}=\frac{22}{3} \end{matrix}\right.$

 

 

Câu 5 (5 điểm)
Cho các bộ số $(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3$ và $(y_1,y_2,y_3)\in \mathbb{R}^3$ ta đặt

$d_1(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}(x_i-y_i)^2},d_2(x,y)=\max\left | x_i-y_i \right |,d_3(x,y)=\sum_{i=1}^3{\left | x_i-y_i \right |}$

Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương $\alpha ,\beta ,\gamma$ sao cho

$d_1(x,y)\le \alpha d_2(x,y)\le \beta d_3(x,y)\le \gamma d_1(x,y)$

 

Câu 6 (5 điểm)
Xét dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=2015\\x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x_n^2-1}}\ \ ,\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$
Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n$
 
Câu 7 (5 điểm)
Cho tứ diện đều $ABCD$,gọi $M$ là một điểm nằm trong tứ diện.Gọi $M_1,M_2,M_3,M_4$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên các mặt phẳng $(BCD),(CDA),(DAB),(ABC)$ và gọi $G$ là trọng tâm tứ diện.Chứng minh rằng

$\overrightarrow{MM_1}+\overrightarrow{MM_2}+\overrightarrow{MM_3}+\overrightarrow{MM_4}=\frac{4}{3}\overrightarrow{MG}$

 

Câu 8 (5 điểm)
Tìm các số tự nhiên $a_1,a_2,...,a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+...+a_n=2015$ sao cho $\mathcal{P}=a_1a_2...a_n$ đạt giá trị lớn nhất

[LTTK]

ĐỀ SỐ 85

 

Câu 1 : Cho trước số tự nhiên $n(n \geq 3)$; $a_1,a_2,...,a_n$  là các số thực dương bất kì. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :      
                               $F=\frac{a_1^2}{na_1^2+a_2a_3}+\frac{a_2^2}{na_2^2+a_3a_4}+...+\frac{a_{n-1}^2}{na_{n-1}^2+a_na_1}+\frac{a_n^2}{na_n^2+a_1a_2}$
                                          
Câu 2 : Cho trước $2$ số thực dương $\alpha ,\beta $. Hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty )$ thỏa mãn $f(f(x))+\alpha f(x)=\beta (\alpha +\beta )x, \forall x>0.$. Tính $f(2015)$
 
Câu 3 : Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $D$ là một điểm thuộc cung $BC$ của đường tròn $(O)$ không chứa $A$. $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. $P$ là một điểm nằm trên đường thẳng $DM$. $E,F$ lần lượt là hai điểm thuộc đoạn thẳng $AC,AB$ sao cho $PE || DC , PF || DB$. Các tiếp tuyến tại $E,F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt nhau tại $T$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $O$ cắt nhau tại $S$. Gọi $Q$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $DQ || BC$. Chứng minh rằng $AQ || ST$
 
Câu 4 : Cho $n \geq 3, n\in \mathbb{N}, X \subseteq \left \{ 1;2;...;n^3 \right \}, \left | X \right |=3n^2$. Chứng minh rằng có thể tìm được 9 số $a_1,a_2,...,a_9$ đôi một khác nhau thuộc $X$ sao cho hệ phương trình : 

      $ \left\{\begin{matrix}a_1x+a_2y+a_3z=0 &  & \\ a_4x+a_5y+a_6z=0&  & \\ a_7x+a_8y+z_9z=0 &  & \end{matrix}\right.$      

có nghiệm nguyên $(x_0,y_0,z_0)$ thỏa mãn $x_0,y_0,z_0\neq 0$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 86

 

Câu 1.

     1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn
                $$a^2+b\mid a^2b+a,b^2-a\mid ab^2+b$$
     2) Cho $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên bậc 2015 với hệ số bậc cao nhất là 1. Đặt $Q(x)=(P(x))^2-9$. Chứng minh rằng số nghiệm nguyên phân biệt của đa thức $Q(x)$ không vượt quá 2015.
 

Câu 2.

     1) Cho dãy số $(a_n)$, $n\in \mathbb{N}$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix}a_0=1 & & \\ a_{n+1}=3a_n+\left [ a_n\sqrt{5} \right ] & & \end{matrix}\right.$
       Chứng minh rằng $a_{n+1}=6a_n-4a_{n-1}$ và $5a_n^2-4^n$ là số chính phương với mọi $n\in \mathbb{N}$
     2) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 1 và thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$$\frac{a^2}{(a-1)^2}+\frac{b^2}{(b-1)^2}+\frac{c^2}{(c-1)^2}\geq 1$$
 

Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD với D thuộc đoạn thẳng BC. P là một điểm di chuyển trên đoạn thẳng BC. Đường thẳng qua P vuông góc với BC lần lượt cắt CA,AB tại E,F. Gọi K,L lần lượt là các điểm đối xứng của D qua CA,AB.
    1) Chứng minh rằng (LFB) và (KEC) cắt nhau tại 1 điểm M trên BC.
    2) Gọi giao điểm khác M của (LFB) và (KEC) là N. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi.
 

Câu 4. Tìm điều kiện của số nguyên dương $n \geq 2$ sao cho ta có thể nối được $n$ đoạn thẳng với các đầu mút là các đỉnh của một đa giác đều $2n$ cạnh thỏa mãn đồng thời:

    i) mỗi đỉnh của đa giác là đầu mút đúng của một trong các đoạn thẳng vừa nối;
    ii) các đoạn thẳng trên có độ dài khác nhau.
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 87

 

Câu 1 (5 điểm)
Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=10$.Chứng minh rằng:
$$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)+12a^2b^2c^2\geq 30$$
 
Câu 2 (5 điểm)
Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $P(x^2+1)=P(x).P(x+1)\forall x$
 
Câu 3 (5 điểm)
Cho n số thực $a_1;a_2;...;a_n$ bất kỳ.Chứng minh rằng tồn tại số thực $x$ sao cho cho $a_1+x$,$a_2+x$,$a_3+x$,...,$a_n+x$ đều là số vô tỉ
 
Câu 4 ( 5 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .Một đường tròn $(J)$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $D$ và tiếp xúc với cạnh $AB$ tại $E$ sao cho $D$ và $A$ nằm về hai phía đối với đường thằng $BC$.Từ $C$ kẻ tiếp tuyến của đường tròn $(J)$ ,tiếp xúc với $(J)$ tại $F$ sao cho $F$ và $D$ nằm về hai phía đối với đường thẳng $BC$.Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ 
                                                                                                                                
Câu 5 ( 6 điểm)
 
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiên:
$$f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+(f(y))^2\forall x,y\in\mathbb{R}$$
 
Câu 6 ( 7 điểm)
 
Tại ba đỉnh $A,B,C$ của một tam giác $ABC$ có ghi tương ứng ba số $a,b,c$ không đồng thời bằng nhau .Người ta thực hiện phép thay đổi tại ba đỉnh của tam giác như sau:Nếu ở trước ở ba đỉnh có ghi ba số $\left ( x;y;z \right )$ thì bước tiếp theo sẽ ghi ba số $\left ( x+y-2z;y+z-2x,z+x-2y \right )$.Chứng minh rằng xuất phát từ bộ ba số $\left ( a,b,c \right )$ sau một số lần thực hiện như trên ,ta sẽ nhận được bộ ba số mà ít nhất một trong ba số của nó không nhỏ hơn $2015$
 
Câu 7 ( 7 điểm)
 
a) Cho tam giác $ABC$ với $M,N$ là trung điểm $AC,AB$.Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA$ tại $D,E$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BI,MN,DE$ đồng quy
 
b) Cho tam giác $ABC$ và điểm $X$ di chuyển trên tia đối của tia $CB$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $XAB$ và $XAC$ cắt nhau tại $P,Q$.Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $X$ thay đổi.
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 88

 

Câu 1:(2.5 điểm) Cho hàm số $y = x^3 + 3(m+1)x^2 + 3m(m+2) + m^3 + 3m^2$
Tìm m sao cho đồ thị đạt cực đại, cực tiểu tại A và B mà tam giác OAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\sqrt{10}$
 
Câu 2:(2.5 điểm) Giải hệ phương trình: $2y^3 - 2x^3 = 3 $
                                                          $y = 4x^3 - x + 3 $     
 
Câu 3:(1.5 điểm) Cho hàm số f: N* --> N*thỏa mãn:
$2[f(x^2 + y^2)]^3 = f^2(x).f(y) + f^2(y).f(x)$ với x,y thuộc N*, x khác y
 
Câu 4:(2.0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Một đường tròn tâm X tiếp xúc với tia AB, AD lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc đường tròn (O) tại T. Tiếp tuyến tại A và T của (O) cắt nhau tại K. Đường thẳng TE cắt (O) tại điểm M khác T, đường thẳng TF cắt (O) tại N khác T. Phân giác góc BAC cắt đường thẳng MC tại I, đường thẳng KI cắt dường thẳng CN tại J. Chứng minh rằng nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADJ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau.
 
Câu 5:(1.5 điểm) Với một dãy số bất kì ${x_n}$, xét dãy ${y_n}$ thỏa mãn: $y_1=x_1 ,  y_{n+1}=x_{n+1} - (\sum_{i=1}^{n}x_i^2)^2$ ($n \geq 1)$. Tìm số thực dương $\lambda$ nhỏ nhất sao cho với mọi dãy ${x_n}$ và mọi số nguyên dương m, ta có $\frac{1}{m}.\sum_{i=1}^{m}x_i^2 \leq \sum_{i=1}^{m}\lambda ^{m-i}.y_i^2$ 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 89

 

Bài 1 (5 điểm).
Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$\left (\frac{a+b+c}{3}  \right )^3 \geq \left (\frac{ab+bc+ca}{3}  \right )\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$.
 
Bài 2 (5 điểm).
Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$u_1 \epsilon (0;1)$, $u_n= \frac{1}{3}\left (u_{n-1}+\sqrt{3u_{n-1}^2+1}  \right )$, $\forall n \geq 2$.
Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
 
Bài 3 (5 điểm).
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Điểm $M$ thuộc cung $BC$ (không chứa $A$). Gọi $D$, $H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các đường thẳng $AC$, $AB$. Xác định điểm $M$ để độ dài $DH$ lớn nhất.
 
Bài 4 (5 điểm).
Cho $P_0(x)$, $P_1(x)$, ..., $P_9(x)$ là các đa thức thỏa mãn:
$P_0(x^{10})+xP_1(x^{10})+...+x^8P_8(x^{10})=(x^9+x^8+...+x+1)P_9(x)$, $\forall x \epsilon R$.
Chứng minh $P_k(1)=0$ với $k=\overline{1,9}$.

Bài 5 (6 điểm).
Tìm tất cả các hàm số $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x-f(y))=1-x-y$, $\forall x,y \epsilon R$.
 
Bài 6 (7 điểm).
Chứng minh rằng phương trình $(4x-1)(4y-1)=4z^2+1$ không có nghiệm nguyên dương nhưng có vô số nghiệm nguyên.
 
Bài 7 (7 điểm).
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường cao $AH$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Đường tròn đường kính $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M$ và cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $N$ ($M$, $N$ khác $A$).
a) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua trung điểm $T$ của cung $BC$ (không chứa $A$).
b) Chứng minh rằng ba điểm $M$, $N$, $D$ thẳng hàng.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 90

 

Bài 1. (5 điểm)
Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ được xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_{1}\in \left ( 0;1 \right )\\ x_{n+1}=x_{n}+\left ( \frac{x_{n}}{n} \right )^{2}, \forall n\geq 1\end{matrix}\right.$$ Dãy số $\left ( x_{n} \right )$ có hội tụ không? Tại sao?
 
Bài 2. (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R\rightarrow R$ thỏa: $$f\left ( 2x-y \right )-6\left ( x+1 \right )\left ( x-y \right )^{2}=2f\left ( x \right )-f\left ( y \right ),\: \forall x,y\in R$$
 
Bài 3. (5 điểm)
Cho bảng $3\times 3$ (gồm 3 hàng ngang và 3 cột dọc). Kí hiệu ô vuông $\left ( i;j \right )$ là ô vuông giao của hàng thứ $i$ (tính từ trên xuống) và cột thứ $j$ (tính từ trái sang phải). Có bao nhiêu cách điền vào các ô vuông, mỗi ô một số tự nhiên (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng $2015$, đồng thời trong các ô $\left ( i;i \right ),\:  i=\overline{1,3}$ thì ô $\left ( 2;2 \right )$ ghi số nhỏ nhất.
 
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác $ABC$. đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$. Lấy điểm $J$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $BJ$ song song $AC$. Gọi $K$ là giao điểm của $CJ$ và $AB$. Chứng minh rằng $IK$ song song $EF$.
 
 
Buổi thi thứ hai.
 
Bài 5. (7 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có $AB> AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Các đường trung trực của $AB,AC$ cắt tia $AM$ tại $D,E$ tương ứng. Đường thằng $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $F$ ($F$ nằm trong tam giác $ABC$)
 
       a) Chứng minh $AF$ là phân giác ngoài góc $EFD$
     
       b) Chứng minh rằng $A,N,F,P$ cùng nằm trên một đường tròn.
 
Bài 6. (7 điểm)
Cho hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^{2}+2b$ là số chính phương. Chứng minh rằng $a^{2}+b$ có thể phân tích thành tổng của hai số chính phương.
 
Bài 7. (6 điểm)
Trong dịp chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam $20-11$ và khánh thành trường mới, Đoàn trường THPT Chuyên Lương Thế VInh tổ chức thi văn nghệ. Để chọn ra các tiết mục xuất sắc biểu diễn trong ngày lễ, Ban chấp hành Đoàn trường đã tổ chức duyệt văn nghệ trong $6$ buổi. Biết rằng trong mỗi buổi có đúng $100$ học sinh tham gia để cổ vũ cho các tiết mục và không có hai học sinh nào mà hợp lại tham gia đủ cả $6$ buổi. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh đã tham gia cổ vũ cho các tiết mục văn nghệ trong $6$ buổi trên.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 91

 

Bài 1 (5 điểm).Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi 
                                             
$$x_1=1;x_{n+1}=3+\frac{5}{x_n}$$ với $n=1;2...$ 
 
Tìm số thực dương $a$ sao cho dãy số $(y_n)$ xác định bởi 
            
 $$y_n=\frac{a^n}{x_1.x_2...x_n}$$ với $n=1;2...$
 
có giới hạn hữu hạn và $\mathbb{lim} y_n\neq 0$
 
Bài 2 (5 điểm).Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp $(O)$ có đường cao $AH$ và tâm đường tròn nội tiếp là $I$.Gọi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ của $(O)$.$D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$.Đường thẳng $MD$ cắt đường thẳng $BC$ ,$AH$ theo thứ tự tại các điểm $P$,$Q$
            a.Chứng minh tam giác $IPQ$ vuông
            b.Đường thẳng $DI$ cắt $(O)$ tại điểm $E$ khác $D$.Hai đường thẳng $AE$ và $BC$ cắt nhau tại $F$ .Chứng minh nếu $AB+AC=2BC$ thì $I$ là trọng tâm của tam giác $APF$
 
Bài 3 (5 điểm).Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn điều kiện:
$$(P(x))^3-3(P(x))^2=P(x^3)-3P(-x)\forall x\in \mathbb{R}$$
 
Bài 4 (5 điểm).Xác định tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn tính chất tồn tại một cách chia hình vuông có độ dài cạnh là $n$ thành đúng năm hình chữ nhật sao cho độ dài các cạnh của năm hình chữ nhật đó là các số $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 92

 

Bài 1. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3y^3+72x^3=1 \\ x^2y^2+2x^2y-8x=-2 \end{cases}$.
 

Bài 2. Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xy+yz+zx+xyz=4$. Chứng minh $\frac xy+ \frac yz + \frac zx \ge x+y+z \ge xy+yz+zx$.
 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB+BC=3AC$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB,BC,CA$ lần lượt tại $D,E,F$. Trên cạnh $AC$ lấy $M$ sao cho $AM=CF$. Gọi $N,P$ là giao điểm của $MB$ và đường tròn $(I)$ với $N$ nằm giữa $B$ và $P$. Đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng đường tròn qua ba điểm $I,K,N$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$.
 

Bài 4. Trong một hội nghị có $155$ đại biểu, ban tổ chức nhận thấy có ít nhất $2015$ cặp đại biểu quen biết nhau. Chứng minh rằng tồn tại $4$ đại biểu $A,B,C,D$ sao cho $A$ và $B$, $B$ và $C$, $C$ và $D$, $D$ và $A$ quen biết nhau.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 93

 

Câu 1. (4 điểm)
1. Giải phương trình: $cos2x-\sqrt{3}sin2x+2sinx-2\sqrt{3}cosx+3=0$
2. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$, biết $cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{1}{4}$

Câu 2. (2 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên $X$ gồm 4 số tự nhiên đôi một khác nhau sao cho trong $X$ không có 2 số chẵn đứng cạnh nhau và không có 2 số lẻ đứng cạnh nhau.

Câu 3. (4 điểm)
1. Kí hiệu $x_n$ là tổng của $n$ số nguyên dương lẻ đầu tiên. Hãy tính giới hạn của $S_n$ biết rằng:
$$S_n=\frac{1}{4x_1-1}+\frac{1}{4x_2-1}+...+\frac{1}{4x_n-1}$$
2. Cho dãy số $x_n$ xác định bởi: $x_1=1, x_2=3;x_{n+2}=\frac{x_{n+1}^2+8}{x_n},\forall n\geq 1$. Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương, ta có dãy số $x_n$ nguyên và $\frac{x_n^{2}-1}{2}$ là số chình phương.

Câu 4. (2 điểm)
Tính: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{9x-1}-3x-1}{1-x}$

Câu 5. (5 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=AB=a,AD=b$
1. Tính $tan$ của góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ theo $a,b.$
2. Gọi $E$ là trung đểm cạnh $CD$. Tính khoảng cách từ $S$ đến $BE$ theo $a$ và $b$.
3. Gọi $\alpha, \beta, \gamma $ lần lượt là góc giữa các mặt phẳng $(SBD)$ với các mặt phẳng $(SAB), (SAD)$ và $(ABD)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=cos\alpha +cos\beta +cos\gamma$$
 

Câu 6. (3 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện.
$$f(x^2)=f(x+y)f(x-y)+y^2, \forall x,y\in \mathbb{R}$$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 94

 

Bài 1 Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc đoạn thẳng $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $EM\parallel AB$ và $\angle ECM=\angle FCB$. Lấy điểm $N$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $FN\parallel AC$ và $\angle FBN=\angle EBC$. Gọi $BM$ cắt $CN$ tại $P$. Chứng minh rằng $P$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $E,F$ di chuyển.

Bài 2 Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $CA,AB$ tại $E,F$. $G,H$ đối xứng $E,F$ qua $I$. $GH$ cắt $BC$ tại $P$. Các điểm $M,N$ thuộc $IP$ sao cho $CM\perp IB$ và $BN\perp IC$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm $MN$.    

Bài 3 Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle BPC=180^\circ-\angle A$. $PB,PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $I,J$ lần lượt là tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $B,C$ của tam giác $ABE$ và $ACF$. Gọi $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $KI=KJ$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ với $E,F$ là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh $CA,AB$ sao cho $AE=AF$. $EF$ cắt $BC$ tại $D$. $K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp tam giác $DBF,DCE$. Gọi $BE$ cắt $CF$ tại $H$. $AH$ cắt $BC$ tại $S$. $G$ là đối xứng của $D$ qua $KL$. Lấy $T$ thuộc $DG$ sao cho $ST\perp BC$. $M$ là trung điểm $ST$. Chứng minh rằng đường thẳng $GM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $E,F$ thay đổi.   
 
Bài 5 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn ${BC}$. $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là trung điểm $AM$. Các điểm $P,Q$ lần lượt thuộc đoạn thẳng $OB,OC$ sao cho $OP=\dfrac{1}{4}OB=\dfrac{1}{4}OC=OQ$. Đường thẳng qua $N$ song song $CA$ cắt đường thẳng qua $Q$ vuông góc $OB$ tại $E$. Đường thẳng qua $N$ song song $AB$ cắt đường thẳng qua $Q$ vuông góc $OC$ tại $F$. Chứng minh rằng $EF$ luôn tiếp xúc một đường tròn cố định khi $A$ di chuyển.
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 95

 

Bài 1. (5 điểm)
 
1) Cho các số x,y thỏa $x^{2}y^{2}+2yx^{2}+1=0$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{2xy+2x+1}{x^{2}}-y(y+2)$

 
2) Cho a,b,c là 3 nghiệm thực của phương trình $x^{3}-3x^{2}-x+2=0$. P(x) là một đa thức bậc 3 thỏa

$\left\{\begin{matrix} P(a)=b+c\\ P(b)=c+a\\ P(c)=a+b\\ P(a+b+c)=2 \end{matrix}\right.$

Tính $P(16)$
 
Bài 2. (5 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 4 và a,b,c,d là các số nguyên.
Đặt $S_{k}=a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}$ với k$\in \mathbb{N}$. 
Chứng minh nếu $S_{1}$ và $S_{3}$ chia hết cho p thì $S_{2015}$ cũng chia hết cho p.
 
Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Một điểm D thay đổi trên BC. Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJD luôn đi qua một điểm cố định
b) Gọi P,M là tiếp tuyến của (I) với AB,BC; gọi N,Q là tiếp tuyến của (J) với AC,BC. Gọi X là giao điểm của PM và NQ. Chứng minh XD vuông góc với IJ
 
Bài 4. (5 điểm): Cho dãy số $(a_{n})$ được xác định bởi: $a_{1}=1, a_{2}=4, a_{n}=2a_{n-1}-5a_{n-2}, \forall n \geqslant 3$.
a) Chứng minh rằng dãy số $(a_{n})$ chứa vô số số hạng là số dương và vô số số hạng là số âm.
b)Tìm tất cả số nguyên dương n để $a_{n}$ chia hết cho 19

[LTTK]

ĐỀ SỐ 96

 

Câu 1.
          a) Giải phương trình $x\sqrt{x}=(2014+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}$ .
          b) Giải hệ phương trình 
$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2& \\ 16x^{4}-24x^{2}+8\sqrt{3-2y}-3=0&  
\end{matrix}\right$
 

Câu 2,
          Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}(x+y)(4xy+1)=9xy&  & \\(x^{3}+y^{3})(64x^{3}y^{3}+1)=mx^{3}y^{3}&  & \end{matrix}\right.$
có nghiệm $(x;y)$ với $x,y>0$ .
 

Câu3. 
         Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, tam giác ABC . Gọi $H,K$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$ của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết $H(5;-1),K(\frac{1}{5};\frac{3}{5})$, phương trình đường thẳng $BC$ là $x+3y+4=0$ và điểm $B$ có hoành độ âm.
 

Câu 4.
          a) Cho tam giác ABC có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng nếu $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác GAB thì $cos^{2}A+cos^{2}C=2cos^{2}B$.
          b) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của                 biểu thức $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$
 

Câu 5. 
          Kí hiệu $E$ là tập hợp gồm tất cả các tam thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c$ có $a>0$, 
          $\Delta =b^{2}-4ac\leq 0$. Tìm điều kiện cần và đủ đối với các số $m,n,p$ để với mọi $f(x)$ 
          thuộc $E$ ta đều có $g(x)=f(x)+m(ax+b)+n(bx+c)+p(cx+a)$ cũng thuộc $E$ .