Chủ đề này có 172 trả lời

[LTTK]

ĐỀ SỐ 117

 

Bài 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
 
1.$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^{2}-x-3$
2.$\frac{2+\sqrt{2}}{cos2x\sqrt{tanx+cot2x}}=\frac{\sqrt{2}}{cos2x}+2tan2x$
 
Bài 2 (4,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-\frac{2xy}{x-y}=1 & \\ \sqrt{x-y}=x^{2}+y-4 & \end{matrix}\right.$
2. Cho dãy $(u_n)$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_1=1,u_2=3 & \\ u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n+1 & \end{matrix}\right.$
Tính $lim\frac{u_n}{n^{2}}$
 
Bài 3 (4,0 điểm).
 
1. Một trường THPT có 20 học sinh tiêu biểu, trong đó có 5 học sinh lớp 10, 6 học sinh lớp 11 và 9 học sinh lớp 12. Ban chấp hành đoàn trường chọn ngẫu nhiên 8 học sinh từ 20 học sinh đó để đi dự trại hè của thành phố. Tính xác suất để ban chấp hành đoàn trường chọn được 8 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh.
 
2. Cho khai triển: $(1+x+x^{2}+...+x^{2015})^{2016}=a_0+a_1x+a_2x^{2}+...+a_{4062240}x^{4062240}$
Tính giá trị của biểu thức: $T=C_{2016}^{0}a_{2016}-C_{2016}^{1}a_{2015}+C_{2016}^{2}a_{2014}-...+C_{2016}^{2016}a_{0}$
 
Bài 4 (5,0 điểm).
 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): $x+y+2=0$ và đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}-4x-2y=0$. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc (d). Qua M kẻ tiếp tuyến MA với (C) (A là tiếp điểm) và một cát tuyến cắt (C) tại B và C (B nằm giữa M và C). Tìm tọa độ điểm M biết tam giác ABC vuông tại B và có diện tích bằng 5.
2. Cho tứ diện S.ABC có SA và SB vuông góc với nhau, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC. Chứng minh: $6(SA^2+SB^2+SC^2)\geq (AB+BC+CA)^{2}$
 
Bài 5 (3,0 điểm). Cho 2 số thực x, y thỏa mãn điều kiện $x+y+25=8(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5})$
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $P=\sqrt{(x-1)(y-5)}$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 118

 

Câu 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$, luôn tồn tại duy nhất 2 số nguyên dương $m_k$ và $n_k$ sao cho 
$$(2+ \sqrt{3})^k=m_k+n_k\sqrt{3}$$
hơn nữa nếu $k$ là số lẻ thì $m_k -1$ là số chính phương.
 

Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho
$$\sigma (n) =n^2-14n+9$$
với $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$.
 

Câu 3. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho 
$$P^2(x)+P(-x)+2=P(x^2)+3P(x)$$
với mọi $x \in \mathbb{R}$.
 

Câu 4. Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và P,Q là hai điểm đẳng giác nằm trong tam giác. Gọi (X) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.  PB,PC lần lượt cắt CA,AB tại E,F.
       1/ Chứng minh rằng P nằm trên (X) khi và chỉ khi Q nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC.
       2/ QB,QC cắt (O) lần lượt tại M,N khác B,C. Trên đường thẳng BC lấy các điểm S,T sao cho AS||PC, AT||PB. Gọi K,L lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác CMS và BNT. Gọi BK cắt CL tại D. AP cắt EF tại R. Cho P nằm trên (X), chứng minh rằng $\angle BDC = \angle BRC + \angle BAC$.
 

Câu 5. Trên mặt phẳng toạ độ ta xét tất cả các hình chữ nhật mà các đỉnh có hai tọa độ nguyên, các cạnh song song với các trục tọa độ và diện tích của mỗi hình chữ nhật đó là số có dạng $2^k$ với $k$ là số tự nhiên nào đó. Hỏi  có tồn tại hay không một cách tô màu tất cả các điểm với hai tọa độ nguyên bởi một trong hai màu Xanh, Đỏ sao cho không có hình chữ nhật nào trong số các hình xét trên có cả 4 đỉnh cùng màu ?

[LTTK]

ĐỀ SỐ 119

 

Bài 1 (4 điểm).
 
        Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} 7x^3+y^3+3xy(x-y)=12x^2-6x+1 & & \\ 2\sqrt{x^2+3}-\sqrt{9-y^2}+y=1 & & \end{matrix}\right.$ 
 
Bài 2 (4 điểm).
 
        Cho đường tròn $(O)$ và dây $AB$ . Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ nằm về một phía đối với đường thẳng $AB$ , tiếp xúc với nhau tại $T$ đồng thời tiếp xúc với $AB$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến chung tại $T$  của các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ (với $C$ thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng $AB$ có chứa hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ ).Chứng minh rằng $T$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$
 
Bài 3 (4 điểm).
   
       Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $2016^{m}+1$ là ước của $2016^{n}+1$ .Chứng minh rằng $m$ là ước của $n$.
 
Bài 4 (4 điểm)
 
       Cho ba số dương $a,b,c$ thay đổi thỏa mãn $a+b+c=abc$.Chưng minh rằng:
 
$$3+\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}\geq \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2+\sqrt{3}$$
 
Bài 5 (4 điểm)
 
        Cho tập hợp $X$ có $2016$ phần tử.Chọn ra $64$ tập con $X_1,X_2,...,X_64$ của tập $X$ {mỗi tập con đều chứa nhiều hơn $1008$ phần tử} . Chứng minh rằng:tồn tại tập con $A$ của $X$ có số phần tử không vượt quá $6$ mà $A\cap X,\neq \oslash,i=\overline{1,64}$ 
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 120

 

Câu 1:
a) Giải phương trình: $\sqrt{3x-4}-\sqrt{x+2}=x-3$
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}(2y-1)=4y^{2}-4y+21\\ 3x(2y-1)^{2}=x^{2}+20 \end{matrix}\right.$[/size]
 
Câu 2:
a) Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x^{3}+3x^{2}-4}$
b)Cho hai hàm số $y=x^{2}+2x-3$ và $y=4x+m$, ($m$ là tham số). Tìm $m$ để đồ thị các hàm số cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ trung điểm $I$ của đoạn $AB$ đến các trục tọa độ là bằng nhau.
 

Câu 3:
Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\dfrac{(2x+3y+z)^{3}}{3\sqrt[3]{z^{2}x^{2}}+1}+\dfrac{(2y+3z+x)^{3}}{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}}+1}+\dfrac{(2z+3x+y)^{3}}{3\sqrt[3]{y^{2}z^{2}}+1}$
Câu 4: Trên đường tròn có bán kính bằng $1$ ta lấy $17$ điểm bất kì. Chứng minh rằng trong $17$ điểm đó có ít nhất $3$ điểm tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\dfrac{1}{20}$.
 

Câu 5:
a) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $\angle A=60$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $N$ là điểm thỏa mãn $\vec{AN}=\dfrac{2}{5}\vec{AC}$. Chứng minh rằng $AM \perp BN$
b) Cho hai đường tròn $(O_1;r)$ và $(O_2;R)$ tiếp xúc trong tại $A$ ($r<R$). Qua $A$ vẽ cát tuyến cắt $(O_1)$ tại $B$ và $(O_2)$ tại $C$ ($B, C $ khác $A$). Một đường tròn $(T)$ thay đổi luôn qua $B$ và $C$ cắt $(O_2)$ tại $D$ ($D$ khác $C$) và cắt $(O_1)$ tại $E$ ($E$ khác $B$). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Chứng minh $M$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.
 

Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác$ABCD$ nội tiếp đường tròn $(T)$ có đường chéo AC là đường kính và $C(4;-2)$, đường chéo $BD$ có trung điểm $M(3;-1)$. Một đường thẳng qua $D$ và $E(-1;-3)$ sao cho $DE$ song song $BC$. Biết đường thẳng $AB$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các điểm $A; B; D$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 121

 

Câu 1: Giải phương trình: $$\frac{cos2x+\sqrt{3}sin2x-2\sqrt{3}cosx+4sinx-3}{\sqrt{sinx}}=0$$.
 

Câu 2:
           a) Một trường học có 25 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ trong đó có đúng hai cặp vợ chồng. nhà trường chon ngẫu nhiên 5 người trong số 40 giáo viên trên đi công tác. Tính xác suất sao cho trong 5 người được chọn có đúng một cặp vợ chồng.
           b) Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow -\infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$
 

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $N$ là điểm thuộc cạnh $CD$ thỏa mãn hai mặt phẳng $(SAM),(SMN)$ vuông góc với nhau. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM,SN$.
           a) Chứng minh tứ giác $MNKH$ nội tiếp được trong một đường tròn và $AM$ vuông góc với $MN$.
           b) Tính diện tích tam giác $AHK$ theo $a$.
 

Câu 4: 
           a) Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $cos^{2}B+ cos^{2}C\leq sin^{2}A$
           Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F=\sqrt{2}sin^{4}\frac{A}{2}+\sqrt{2}cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}$
           b) Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=2 \\ \frac{u_{n+1}}{2}=\frac{u_{1}}{1}+\frac{u_{2}}{3}+\frac{u_{3}}{5}+...+\frac{u_{n}}{2n-1} \end{cases}$
           Với mỗi $n\in N^{*}$, đặt $S_{n}=\frac{u{_{1}}^{2}+u{_{2}}^{2}+u{_{3}}^{2}+...+u{_{n}}^{2}}{n^{3}}$. Tính $limS_{n}$.
 

Câu 5: Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2=x^{2}y^{2}z^{2}$.
           Chứng minh rằng $xyz(x+y+z)\geq 2(xy+yz+zx)$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 122

 

Câu 1:(2 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \dfrac{7}{x}-\dfrac{27}{y}=2x^2 & \\ \dfrac{9}{y}-\dfrac{21}{x}=2y^2 \end{matrix}\right.$
 

Câu 2:(1 điểm) Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện 
$$f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y) \forall x,y \in \mathbb{R} (1)$$
a) Chứng minh rằng $f(0)=0$
b) Tìm tất cả các hàm $f(x)$ thỏa mãn $(1)$
 

Câu 3:(1 điểm). Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a<b$ và $\dfrac{1+ab}{b-a} \leq \sqrt{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P= \dfrac{(1+a^2)(1+b^2)}{a(a+b)}$$
 

Câu 4:(3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB<AC$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $K$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$, $AI$ cắt $BC$ tại $X$. Vẽ tiếp tuyến $XH$ của đường tròn $(I)$ với $H$ thuộc $(I)$ và $H$ khác $D$.
a) Chứng minh rằng $KD$ và $IH$ cắt nhau tại điểm $Q$ trên đường tròn $I$. 
b) Vẽ đường tròn đi qua hai điểm $B$ và $C$, tiếp xúc với $(I)$ tại điểm $P$. Tiếp tuyến tại $(P)$ của $(I)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $MK=MD$
c) Chứng minh rằng ba điểm $P,K,H$ thẳng hàng
 

Câu 5:(2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $a$ cho trước luôn tồn tại vô số số nguyên tố lẻ $p$ sao cho $a^p+2016^p$ không chia hết cho $p$
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $a$ thỏa mãn điều kiện: Có vô số số nguyên dương lẻ $n$ sao cho $a^n+2016^n$ chia hết cho $n$
 

Câu 6:(1 điểm) Tìm tất cả các bộ sắp thứ tự $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=30$
(ii) Có thể viết các số $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ lên các cạnh của một lục giác lồi sao cho sau một số hữu hạn các bước chọn một đỉnh nào đó của lục giác (mỗi bước chọn một đỉnh) rồi cộng thêm $1$ vào hai số viết ở cạnh xuất phát từ đỉnh đó thì ta có thể thu được trạng thái tất cả các số trên các cạnh của lục giác bằng nhau

[LTTK]

ĐỀ SỐ 123

 

Câu 1.
        a) Giải phương trình $4\sin^2 x\cos x+2\cos 2x=\cos x+\sqrt{3}\sin 3x$
        b) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x+y)\left ( 1+\dfrac{1}{xy} \right )=5\\ (x^2+y^2)\left ( 1+\dfrac{1}{x^2y^2} \right )=9 \end{matrix}\right. \ \ \ \ (x,y\in \mathbb{R})$
 

Câu 2.
        a) Tìm giới hạn $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt{1+2x}}{x^2}$
        b) Tìm $\lim \dfrac{u_n}{3^n}$ biết $(u_n)$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=3u_n+2n-1,n\geq 1\end{matrix}\right.$  
 

Câu 3.
        Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Trên $AC$ lấy $M$ sao cho $MA=3MC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua M và song song $mp(A'BC)$, cắt $AC'$ tại $N$
        a) Xác định thiết diện của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ khi cắt bởi $(\alpha )$
        b) Chứng minh $N$ trung điểm $AC'$

 

Câu 4.
        Cho đa giác đều gồm 2017 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác gồm 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng ắt phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng màu tạo thành một tam giác cân
 

Câu 5.
        Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện :
        i) $(x+2)(y+2)=3(x^2+y^2+\sqrt{xy})$
        ii) $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^3=4(x^3+y^3)$
                  Chứng minh rằng $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 

[LTTK]

 ĐỀ SỐ 124

 

Câu 1. 
        a) Giải phương trình $(1-\sqrt{1-x})\sqrt[3]{2-x}=x$ với $x\in \mathbb{R}$
        b) Chứng minh rằng phương trình $p(x-a)(x-c)+q(x-b)(x-d)=0)$ (ẩn $x$) luôn có nghiệm, biết $a<b<c<d$ và $p,q$ là hai số thực bất kì
 

Câu 2.
        Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=5\\ u_{n+1}=(u_n-2)^2,\forall n\geq 1\end{matrix}\right.$. Tìm $\lim \dfrac{u_1u_2...u_n}{u_{n+1}}$
 

Câu 3.
        Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. Gọi $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$; $IJ$ cắt $O$ tại $M$ khác $A$. Gọi $N$ là điểm chính giữa cung $ABM$; $NI$ và $NJ$ cắt $(O)$ tại $S$ và $T$.
        a) Chứng minh $MI=MJ$
        b) Chứng minh $IJ,\ BC,\ TS$ đồng quy
 

Câu 4.
        Xác định số cách chọn bộ 100 số từ tập hợp 2016 số nguyên dương đầu tiên sao cho bất kì cặp 2 trong 100 số được chọn có hiệu số giữa số lớn và số bé lớn hơn hoặc bằng 2.

 

Câu 5. 
        Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $2^{2n-1}-2^n+1$ là số chính phương

[LTTK]

ĐỀ SỐ 125

 

Bài 1: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2\\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y \end{matrix}\right.$
 

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ và $N$ là tâm đường tròn 9 điểm $Euler$ của $\Delta ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $N$ lên $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng đường thẳng $Euler$ (đường thẳng đi qua trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp) của các tam giác $AEF$, $BFD$, $CDE$ và $ABC$ đồng quy.
 

Bài 3: Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:
$1 \leqslant \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
 

Bài 4:
a)Cho $p$ là một số nguyên tố, $a$ là số tự nhiên thỏa $(a,p)=1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n thỏa $a^{n}+n\equiv 0 (mod p)$
b) Tồn tại hay không hai số nguyên dương a,b phân biệt sao cho $b^{n}+n \vdots a^{n}+n$ với mọi số nguyên dương $n$.
 

Bài 5: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho mọi tập con có k phần tử của tập $X$={$1,2,3,...,2020$} đều chứa hai phần tử phân biệt a,b sao cho a+b là số nguyên tố.
Bài 6: Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
$i)$ $f(f(n))=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$ii)$ $f(f(n+2)+2)=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$iii)$ $f(0)=1$.
Tính $f(2015)$ và $f(-2016)$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 126

 

Bài 1: Giải hệ : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}\left (1+\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=2\\ \sqrt{7y}\left (1-\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=4\sqrt{2} \end{matrix}\right.$
 

Bài 2: Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_1=2\\ x_{n+1}=\displaystyle{\frac{x_n^4+2014x_n+1}{x_n^3-x_n+2016}} \end{matrix}\right.$
  a) Chứng minh $\lim x_n=+\infty $
  b) Với $\forall~n\in \mathbb{N^*}$, đặt $y_n=\sum _{k=1}^n \frac{1}{x_k^3+2015}$, tìm $\lim y_n$

 

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC$ nội tiếp trong đường tròn $(\omega )$ tâm O bán kính R, đường tròn $(\omega_1)$ tâm $I_A$ bán kính $R_A$ tiếp xúc với đường tròn $(\omega )$ tại T và với cạnh AB, AC tại E,F. Phân giác $\widehat{BAC}$ cắt $(\omega )$ tại $M\neq A$, BC cắt EF ở X.
   a) Tính $\frac{CF}{CT}$ theo $R$ và $R_A$
   b) Chứng minh $\overline{M,X,T}$
 

Bài 4: Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :
   i) $f(x)+x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$
   ii) $f(f(x)+x)=6x$
   iii) $f(1)=2$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 127

 

Bài 1. a) Cho bảng hình chữ nhật $m \times n$ ô với $m,n$ là các số nguyên dương cho trước. Trên mỗi ô của bảng ta viết $1$ trong các số $0,1,2$ sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột chia hết cho $3$. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu số $1$?
b) Cho hình hộp chữ nhật $2015 \times 2016 \times 2017$ được tạo thành từ các hình lập phương đơn vị. Trong mỗi hình lập phương đơn vị, ta viết một trong các số $0,1,2$ sao cho tổng các số trong mỗi dài $1 \times 1 \times 1 \times 2017, 1 \times 2016 \times 1$ và $2015 \times 1 \times 1$ chia hết cho $3$. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu số $1$?
 
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$ bán kính $r$ và có các đường trung tuyến là $AA_1,BB_1,CC_1$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $S$ và giả sử $AS$ cắt $BC$ tại $A_2$. Các điểm $B_2,C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $$\frac{AA_2}{AA_1}+ \frac{BB_2}{BB_1}+ \frac{CC_2}{CC_1} \ge 1+ \frac{4r}{R}.$$
 
Bài 3. Cho số nguyên dương $n$. Gọi $B^{n+1}$ là tập tất cả các xâu nhị phân độ dài $n$, tức là $$B^{n+1}= \left \{ a_na_{n-1} \cdots a_0 \mid a_i \in \{ 0,1 \} \forall i=0,1, \cdots , n \right \}.$$
Với mỗi xâu $a=a_na_{n-1} \cdots a_0$ thuộc $B^{n+1}$ ta gọi $s(a)=a_n+a_{n-1}+ \cdots +a_0 \pmod 2$ là bit kiểm tra của xâu $a$ và $v(a)=a_n2^n+a_{n-1}2^{n-1}+ \cdots + a_1 \cdot 2+a_0$ là giá trị của xâu $a$.
Gọi $B_0^{n+1}, B_1^{n+1}$ tương ứng là tập hợp tất cả các xâu nhị phân có độ dài $n+1$ có bit kiểm tra tương ứng là $0$ và $1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k,n$, ta có đẳng thức: $$\sum_{a \in B_0^{n+1}}(v(a))^k= \sum_{a \in B_1^{n+1}}(v(a))^k.$$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 128

 

Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
 
$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$
 
Bài 2.
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. Gọi $(J)$ là đường tròn Euler và $H$ là trực tâm tam giác. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $AB, AC$ lần lượt tại $D, E$. Điểm $T$ di động trên $(J)$ và đường thẳng qua $T$ vuông góc với $HT$ cắt $(O)$ ở $M, N$. Dựng hình bình hành $MHNK$.
a) Chứng minh rằng $K$ luôn di chuyển trên một đường cố định khi $T$  thay đổi.
b) Đường tròn $(S)$ tiếp xúc ngoài với $(J)$ và tiếp xúc với $AB, AC$ tại $X, Y$.  Gọi  $Z$ là trực tâm của tam giác $ADE$. Chứng minh rằng tứ giác $AXZY$ là hình thoi.
 

Bài 3.
Một cấp số cộng các số nguyên dương gồm ít nhất 3 số hạng được gọi là chuẩn nếu tích các số hạng của nó là ước số của một số có dạng $ n^2 + 1 $.
a) Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng chuẩn với công sai $12$.
b) Chứng minh rằng không tồn tại cấp số cộng chuẩn với công sai $10$ và $11$.
c) Cấp số cộng chuẩn với công sai bằng $12$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu số hạng?

[LTTK]

ĐỀ SỐ 129

 

Câu 1. (4 điểm)

Giải phương trình $$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}$$

 
Câu 2. (4 điểm)
 

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_1=2013 & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+8}{2(x_n-1)},n\in N^* & \end{matrix}\right.$$

Chứng minh dãy số $(x_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

 
Câu 3. (4 điểm)
 
          Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $($$O$$)$.  Hai tiếp tuyến của đường tròn $($$O$$)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $($$O$$)$ tại điểm $D$ ($D$ khác $A$). Gọi $M,K$ lần lượt là là trung điểm của $BC$ và $AD$. Hai đường thẳng $BK$ và $AM$ lần lượt cắt $($$O$$)$ tại điểm thứ hai là $E,F$. 
1. Chứng minh $\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$.
2. Chứng minh hai đường thẳng $EF$ và $AB$ song song với nhau.
 
Câu 4. (4 điểm)
 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:

$$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x, \forall x,y \in \mathbb{R}$$.

 
Câu 5. (4 điểm)
 
          Người ta xếp $2014$ bóng đèn đang bật sáng thành một hàng dài, từ trái sang phải. Hai người cùng thực hiện một trò chơi như sau: Lần lượt từng người chọn tuỳ ý $5$ bóng đèn liên tiếp, trong đó bóng đèn đầu tiên bên trái trong $5$ bóng đèn được chọn phải đang sáng và thay đổi trạng thái của $5$ bóng đèn đó (từ sáng thành tắt và từ tắt thành sáng). Ai không thể thực hiện được nữa thì thua cuộc. Chứng minh rằng đến một lúc nào đó trò chơi phải kết thúc và dù cho có chơi như thế nào thì người đầu tiên luôn thua cuộc.
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 130

 

Câu 1:(4 điểm) 
         Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ là nghiệm của phương trình : $$x^2+2y^2+3xy-x-y+3=0$$
 

Câu 2:(4 điểm)
        Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện sau :$$f\left ( x \right )+xf\left ( 1-x \right )=2x^2+2016$$

 

Câu 3:(4 điểm)
        Giải phương trình : $2x^2+x-2 =x^2\sqrt{x+2}$

 

Câu 4:(4 điểm)
       
         Cho các số $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3\\ y^2+yz+z^2=16 \end{matrix}\right.$
 
         Chứng minh rằng $xy+yz+zx\leq 8$

 

Câu 5:(4 điểm)
        Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn ; $BC=a, AC=b, AB=c$ và $M$ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ABC$ sao cho các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $MAB, MBC, MCA$ có bán kính bằng nhau. Chứng minh:
$$\frac{1}{b^2+c^2-a^2} \overrightarrow{MA}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}\overrightarrow{MB}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\overrightarrow{MC}=\vec 0$$
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 131

 
Bài 1(4 điểm)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}+\frac{3}{x+y}=4\\ 2(4-3y)\sqrt{2x^{2}-1}=10y^{2}-20y+3x+4 \end{matrix}\right.$$
 
Bài 2(4 điểm)
Cho $\Delta ABC$. 1 đường thẳng song song $BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D,E$. $P$ là điểm trong tam giác $ADE$. $PB,PC$ theo thứ tự cắt $DE$ tại $M,N$.   $O_{1},O_{2}$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDN, PEM$. Gọi $I$ là giao điểm của $AP$ với $O_{1}O_{2}$. Tính $\widehat{AIO_{1}}$
 
Bài 3(3 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương sao cho $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.
 Tìm max: $T=\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}$
 
Bài 4(3 điểm)
Cho 10 điểm thuộc mp tọa độ Oxy. Biết mỗi điểm đều có tọa độ nguyên. Tìm số tam giác ít nhất tạo bởi 3 trong 10 điểm trên có diện tích nguyên.
 
Bài 5(3 điểm)[/font]
Có 8 phong thư và 8 tem thư được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào thư sao cho có ít nhất 1 tem được đánh số trùng với số của phong thư.
 
Bài 6(3 điểm)
Tìm hàm $f:N*\rightarrow N*$ thỏa mãn: 
$f(m+f(n))=n+f(m+2015)$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 132

 

Bài 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
          a) $x^2\left ( x+6 \right )=\left ( 5x-1 \right )\sqrt{x^3+3}+2x-3$
          b) $\left ( tanx+1 \right )sin^2x+cos2x+2=3\left ( cosx+sinx \right )sinx$
 

Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số $\left ( u_n \right )$ được xác định như sau: 
$$\left\{\begin{matrix} u_1=u_2=1\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}},\left ( n\geq 2,n\in \mathbb{N} \right ) \end{matrix}\right.$$
Chứng minh $\left ( u_n \right )$ có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó.
 

Bài 3: (4 điểm)
          Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành và $C_1$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(P)$ tùy ý chứa $AC_1$ cắt các cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $B_1,D_1$.
          a) Chứng minh rằng: $\frac{SB}{SB_1}+\frac{SD}{SD_1}=3$
          b) Xác định vị trí của $(P)$ để tam giác $SB_1D_1$ có diện tích bé nhất.
 

Bài 4: (3 điểm)
          Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số sao cho trong mỗi số đó, có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.
 

Bài 5: (3 điểm)
          Cho một tam giác có độ dài ba cạnh là một số nguyên tạo thành cấp số cộng công sai $d>0$. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng $3$.
 

Bài 6: (2 điểm)
          Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa $2014<\frac{a}{b}<2015$. Xét $2015$ số thực dương $x_1,x_2,...,x_{2015}$ thay đổi thỏa điều kiện $0 < x_i \leq b,\forall i=1,2,...,2015$ và $\sum_{i=1}^{2015}x_i=a$. Tìm $GTLN,GTNN$ của $P=\prod_{i=1}^{2015}x_i$ theo $a$ và $b$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 133

 

Bài 1: Giải phương trình trên tập số thực
$ 4\sqrt{x+1} + 2\sqrt{2x+3} = (x-1)(x^2 -2 ) $ 
 
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ không cân ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Đường tròn $\omega$ tâm $O$ cắt $AI,BI,CI$ lần lượt tại $D,E,F$. Qua $I$ kẻ các đường thẳng song song $BC,CA,AB$ và lần lượt cắt $EF,DF,DE$  tại các điểm $K,L,M$
a/CMR $AK$ tiếp xúc với $\omega$ và $K,L,M$ thẳng hàng
b/Gọi $X$ là giao điểm của $AI$ và $EF$, $Y$ là giao điểm của $BI$ và $DF$, $Z$ là giao điểm của $CI$ và $DE$. Lấy $P$ bất kì trên $BC ( P \neq B,C, P $ không thuộc $AI$ ). CMR đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDX,PEY,PFZ$ cùng đi qua điểm $Q \neq P$ 
 
Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực thoả $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0 $. CMR: 
$\sum (\frac{a}{a+b} )^2 + \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \sum \frac{a}{a+b} - \frac{1}{4} $
 
Bài 4: Cho bảng ô vuông kích thước $10x10$ được chia đều thành $100$ ô vuông, mỗi ô vuông cạnh $1$. Ban đầu người ta tô màu đen cho $k$ ô vuông nào đó trên bảng. Sau đó, nếu ô vuông nào chưa bị tô đen mà nằm cạnh ( có cạnh chung ) với ít nhất 2 ô vuông đen đã tô thì lập tức ô này cũng bị đen. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $k$ để tới một lúc nào đó, tất cả các ô trên bảng đều bị tô đen 
 
Bài 5: Tìm các số $p,n $ thoả $p$ nguyên tố, $n$ là số nguyên dương sao cho
$p^3 -2p^2 + p +1= 3^n $

[LTTK]

ĐỀ SỐ 134

 

Bài 1: 
Cho 2016 tập hợp, mỗi tập có 45 phần tử, hai tập bất kì có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại 1 phần tử thuộc tất cả các tập.
 
Bài 2:
Cho tập $X$ hữu hạn phần tử. Các tập $A_{1},A_{2},...A_{50}$ là các tập con của $X$, mỗi tập có nhiều hơn một nửa số phần tử của $X$
Chứng minh: 
a, Tồn tại phần tử $a$ thuộc ít nhất 26 tập con đã cho.
b, Tồn tại $A\subset X$ thỏa mãn $\left | A \right |\leq 5$ mà $A\cap A_{i}\neq \oslash (i=\overline{1,50})$
 
Bài 3: Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 2016 thỏa mãn số đó chia hết cho 3 hoặc 4 nhưng không chia hết cho 5.
 
Bài 4: Cho S= \left \{ 1,2,...,2014 \right \} 
Cần phải bỏ đi ít nhất bao nhiêu phần tử của $S$ để tập còn lại thỏa mãn không phần tử nào bằng tích hai phần tử khác.
 
Bài 5: Tìm tất cả các tập hữu hạn $A\subset \mathbb{N}$  và $B\subset \mathbb{N}$ thỏa mãn $A\subset \mathbb{B}$ và $\sum x_{b}=\sum x_{a}^{2}$
 
Bài 6: Cho tập $S$ thỏa mãn 
+> Mỗi phần tử của $S$ là một dãy có 15 kí tự, chỉ sử dụng $a,b$
+> Hai phần tử trong $S$ được gọi là khác nhau nếu chúng khác nhau ở ít nhất ba phần tử 
CMR: $\left |S  \right |\leq 2^{11}$
 
Bài 7: Cho tập $S$ có 2008 phần tử và $S_{1},S_{2},...S_{50}$ là tập con của $S$ thỏa mãn
+> $\left | S_{1} \right |=100 (i=\overline{1,50})$
+> $S_{1}\cup S_{2}\cup ....\cup S_{i}=S$
CMR: tập $S_{i}, S_{j}$ $i$ khác $j$ thỏa $\left | S_{1}\cap S_{j} \right |\leq 3$
 
Bài 8: Cho $n,k\in N$ và $S=\left \{ 1,2,...,n \right \}$ 
$A_{1},A_{2},.....A_{k}$ là các tập con của $S$ thỏa:
+> $\left | A_{i} \right |\geq \frac{n}{2}\left ( i=\overline{1,k} \right )$
+> $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |\leq \frac{n}{4}(i\neq j)$
CMR: $\left | A_{1}\cup A_{2}....\cup A_{k} \right |\geq \frac{k}{k+1}$
 
Bài 9: Cho số tự nhiên dương $n$ nhỏ hơn $2014$ 
Tập $A=\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n} \right \}$ là tập con của $S= \left \{ 1,2,3,...,2014 \right \}$ thỏa nếu $a_{i}\neq a_{j}\leq 2014(i\leq i\leq j\leq n)$ thì $a_{i}+a_{j}\in A$
Chứng minh: $\frac{a_{1}+a_{2}+.....+a^{n}}{n}\geq \frac{2015}{2}$
 
Bài 10: Cho $S$ có 2016 phần tử. Tìm số bộ sắp thứ tự $(S_{1},S_{2},....,S_{n})$ với $S_{i}$ là tập con của $S$ thỏa $S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap ....S_{2015}\neq \oslash $
 
Bài 11: Cho $S$ là tập các số nguyên dương nhỏ hơn $15$ thỏa không có hai tập con rời nhau của $S$ có tổng các phần tử bằng nhau. 
a, Chứng minh: số phần tử của $S$ không quá 5
b, Tìm tổng lớn nhất của số các phần tử của $S$
 
Bài 12: Cho $S\subset A= \left \{ 1,2,3,...n \right \}$n với $n$ nguyên dương. Tạo ra tập mới theo các luật sau: 
+> Nếu $1\notin S$ thì thêm $1$ vào $S$
+> Nếu $n\in S$ thì bỏ $n$
+> Với $1\leq t< n,t\in S,t+1\notin S$ thì bỏ $t$ thêm $t+1$
Ta bắt đầu từ tập rỗng.
Chứng minh $n= 2^{m}=1$ với m nguyên dương.
 
Bài 13: Cho các số nguyên dương $m,n$ không nhỏ hơn 2 thảo $S$ là tập có $n$ phần tử. $A_{1},A_{2},...,A_{m}$ là các tập con của $S$ mà mỗi tập có ít nhất 2 phần tử và thỏa mãn nếu $A_{i}\cap A_{j}\neq \oslash$, $A_{i}\cap A_{k}\neq \oslash$, $A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$ thì $A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$
Chứng minh: $m\leq 2^{n-1}-1$
 
Bài 14: Có tồn tại hay không một tập có 2010 số nguyên dương thỏa mãn nếu bỏ bất kỳ một phần tử nào của tập này thì tập còn lại có thể chia thành hai tập mà tổng các phần tử trong mỗi tập này bằng nhau?

[LTTK]

ĐỀ SỐ 135

 

Bài 1: (6,0 điểm)

a) Cho phương trình; $\sin^2[ (x+1)y ]=\sin^2(xy)+sin^2[(x-1)y]$.

Tìm nghiệm $(x,y)$ để $(x+1)y,xy,(x-1)y$ là số đo các góc của một tam giác.

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x-3y^2x-3y+y^3=0 & \\ y-3x^2y-3x+x^3=0& \end{matrix}\right.$

 

Bài 2: (3,0 điểm)

Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Tính số cặp tập hợp (không kể thứ tự) không giao nhau từ các tập con của tập hợp $A$.

 

Bài 3: (3,5 điểm)

Cho số thực $a>2$. Đặt $f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+x^{n-1}+...+x+1 (n=1,2,...).$ Chứng minh rằng với mỗi $n$, phương trình $f_n(x)=a$ có đúng một nghiệm $x_n \in (0,+\infty)$ và dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$.

 

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $xy$ là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ thuộc cung $BC$ không chứa điểm $A$. Gọi $h_A,h_B,h_C$ lần lượt là khoảng các từ các đỉnh $A,B,C$ đến đường thẳng $xy$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{h_A} \sin A = \sqrt{h_B} \sin B+\sqrt{h_C}  \sin C$ (với $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$).

 

Bài 5: (4,0 điểm)

Cho tứ diện $ABCD$, M là một điểm thuộc miền trong tam giác $BCD$. Các đường thẳng qua $M$ song song với $AB,AC,AD$ lần lượt cắt các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ tại $B_1,C_1,D_1$. Chứng minh rằng $AM$ đi qua trọng tâm tam giác $B_1C_1D_1$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 136

 

Câu 1 (5 điểm).
a) Giải phương trình: $x^{4028}+\sqrt{x^{2014}+4}=4$
b) Cho số thực $x$ thỏa: $$2\left(4x^{3}-x+3\right)^{3}=3+2x^{3}$$
Tính giá trị của biểu thức: $$M=x^9+x^6+x^3 +1$$
 

Câu 2 (4 điểm). 
a) Cho tam giác $ABC$. Gọi $A_1, B_1, C_1$ là điểm bất kì trên cạnh $BC,CA$ và $AB$ sao cho các đường thẳng $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=AC_1.BA_1.CB_1$.
b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x+y+3=0$ và hai elip $(E_1):\dfrac{x^{2}}{10}+\dfrac{y^{2}}{6}=1$; $(E_2):\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1,\left(a>b>0\right)$ có cùng tiêu điểm. Biết rằng $(E_2)$ đi qua $M$ thuộc đường thẳng $d$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $(E_2)$ có độ dài trục lớn nhỏ nhất.
 
Câu 3 (4 điểm).
Cho hình thang $ABCD$ vuông góc ở $A$ và $D$, $AB=AD=a,DC=2a$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $D$, lấy điểm $S$ sao cho $SD=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ với $AM=x$. Qua $M$ dựng mặt phẳng $(Q)$ vuông góc với $BD$, lần lượt cắt cạnh $DC,SC,SB$  tại $N,L,K$.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$.
b) Xác định và tính theo $x$ diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $(Q)$. Tìm $x$ để diện tích thiết diện này lớn nhất.
 

Câu 4 (4 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $$\left\{ \begin{array}[t]{l}u_{1}=4\\ u_{n+1}=\left(n+1\right)u_{n}-3n \end{array},\forall n\in\mathbb{N}^{*}\right.$$
Tìm số hạng tổng quát của số $(u_n)$ và số 5043 có thuộc dãy số $(u_n)$?
 

Câu 5 (3 điểm). Tìm số hoán vị của các chữ số từ 1 đến 9 sao cho trong mỗi hoán vị không chứa các "khối" 48; 89 và 143.