Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ sao cho $a+b^{2}$ chia hết cho $a^{2}b-1.$

[I Love MC]

Đặt $a+b^2=k(a^2b-1),k \in \mathbb{Z^+} \Leftrightarrow a+k=b(ka^2-b) \Leftrightarrow mb=a+k,m \in \mathbb{Z}$ và $m+b=ka^2$ 
Suy ra $mb-m-b=a+k-ka^2 \Leftrightarrow (m-1)(b-1)=(a+1)(k+1-ka)$ 
Do $a,b,k>0$ nên $m \ge 1$ . Do $b \ge 1$ nên $(m-1)(b-1) \ge 0 \Rightarrow k+1-ka \ge 0 \Rightarrow k(a-1) \le 1$ 
Suy ra xét $k(a-1)=0 \Rightarrow a=1$ 
$k(a-1)=1 \Rightarrow a=2,k=1$ 
Nếu $a=1$ thì thay vào cho ta $b=2$ hoặc $b=3$  
$a=2$ thì thay vào ta có $b=1$ hoặc $m=1$ nếu $m=1$ thì suy ra $b=3$ 
Tóm lại : $(a,b)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)$