Chủ đề này có 3 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Chứng minh rằng $\forall k, n \in \mathbb{Z}^{+}, \exists$ các số nguyên dương $m_{1}, m_{2},..., m_{k}$ sao cho $1+\frac{2^{k}-1}{n}=(1+\frac{1}{m_{1}})(1+\frac{1}{m_{2}})...(1+\frac{1}{m_{k}}).$

 

[I Love MC]

Với $k=1$ thì dễ kiểm tra thấy đúng 
Giả sử bài toán đúng với $k=j-1$ . Ta chứng minh nó cũng đúng với $k=j$ 
Xét $n$ lẻ thì đặt $n=2t-1$ 
Ta xét thử $1+\frac{2^j-1}{2t-1}=(\frac{2^{j-1}}{t}+1)(1+\frac{1}{2t-1})$ 
Mà theo giả thiết quy nạp $1+\frac{2^{j-1}-1}{t}=(1+\frac{1}{m_1})(1+\frac{1}{m_2})..(1+\frac{1}{m_{j-1}})$ 
Chọn $m_j=2t-1$ ta có điều phải chứng minh 
Tương tự xét $n$ chẵn thì ta cũng chú ý (ở đây $n=2t$) 
$1+\frac{2^j-1}{2t}=(1+\frac{2^{j-1}-1}{t})(1+\frac{1}{2t+2^j-2})$ 
Lập luận như trường hợp $n$ lẻ ta kết thúc bài toán 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 27-10-2016 - 12:38

[yagami wolf]

Với $k=1$ thì dễ kiểm tra thấy đúng 
Giả sử bài toán đúng với $k=j-1$ . Ta chứng minh nó cũng đúng với $k=j$ 
Xét $n$ lẻ thì đặt $n=2t-1$ 
Ta xét thử $1+\frac{2^j-1}{2t-1}=(\frac{2^{j-1}}{t}+1)(1+\frac{1}{2t-1})$ 
Mà theo giả thiết quy nạp $1+\frac{2^{j-1}-1}{t}=(1+\frac{1}{m_1})(1+\frac{1}{m_2})..(1+\frac{1}{m_{j-1}})$ 
Chọn $m_j=2t-1$ ta có điều phải chứng minh 
Tương tự xét $n$ chẵn thì ta cũng chú ý (ở đây $n=2t$) 
$1+\frac{2^j-1}{2t}=(1+\frac{2^{j-1}-1}{t})(1+\frac{1}{2t+2^j-2})$ 
Lập luận như trường hợp $n$ lẻ ta kết thúc bài toán 

thấy ảo quá

[Zz Isaac Newton Zz]

Với $k=1$ thì dễ kiểm tra thấy đúng 
Giả sử bài toán đúng với $k=j-1$ . Ta chứng minh nó cũng đúng với $k=j$ 
Xét $n$ lẻ thì đặt $n=2t-1$ 
Ta xét thử $1+\frac{2^j-1}{2t-1}=(\frac{2^{j-1}}{t}+1)(1+\frac{1}{2t-1})$ 
Mà theo giả thiết quy nạp $1+\frac{2^{j-1}-1}{t}=(1+\frac{1}{m_1})(1+\frac{1}{m_2})..(1+\frac{1}{m_{j-1}})$ 
Chọn $m_j=2t-1$ ta có điều phải chứng minh 
Tương tự xét $n$ chẵn thì ta cũng chú ý (ở đây $n=2t$) 
$1+\frac{2^j-1}{2t}=(1+\frac{2^{j-1}-1}{t})(1+\frac{1}{2t+2^j-2})$ 
Lập luận như trường hợp $n$ lẻ ta kết thúc bài toán 

Bạn cho mình hỏi về phương pháp quy nạp $Cauchy$ và phương pháp quy nạp phân rã được không... Nếu có thể, bạn trình bày rõ ràng phương pháp một chút nha...