Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x+6\sqrt{xy}-y=6 \\ x+\frac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3 \end{matrix}\right.$

[takarin1512]

Bỏ qua trường hợp $x=0$ hoặc $y=0$. Xét $x,y\neq 0$. Ta có $xy> 0\Rightarrow x,y$ cùng dấu, nếu $x,y<0\Rightarrow x+\frac{6\left ( x^3+y^3 \right )}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2\left ( x^2+y^2 \right )}<0$( vô lý), do đó $x,y>0$. Từ hai phương trình trên ta có được 

$x+y+\frac{12\left ( x^3+y^3 \right )}{x^2+xy+y^2}=6\sqrt{xy}+2\sqrt{2\left ( x^2+y^2 \right )}$

Ta có $VT=x+y+\frac{12\left ( x^3+y^3 \right )}{x^2+xy+y^2}\geq x+y+\frac{6\left ( x+y \right )\left ( x^2+y^2 \right )}{x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}}=5\left ( x+y \right )\left ( 1 \right )$

$VP=6\sqrt{xy}+2\sqrt{2\left ( x^2+y^2 \right )}\leq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{2\left [ 2\left ( x^2+y^2 \right )+4xy \right ]}\leq x+y+2\sqrt{2\left [ 2\left ( x^2+y^2 \right )+4xy \right ]}=5\left ( x+y \right )\left ( 2 \right )$

$\left ( 1 \right )\left ( 2 \right )\Rightarrow x=y$. Thế lại vào phương trình đầu ta được $x=y=1$