Chủ đề này có 1 trả lời

[Truong Gia Bao]

Tìm m để phương trình $sin ^4 x+(1-sin x)^4=m$ có nghiệm

[chanhquocnghiem]

Tìm m để phương trình $sin ^4 x+(1-sin x)^4=m$ có nghiệm

Đặt $y=\sin^4x+(1-\sin x)^4$ (đây là hàm liên tục)

Ta cần tìm GTLN và GTNN của $y$.

 

Cách 1 :

Đặt $a=\sin x$ ; $b=1-\sin x$ ($a\in \left [ -1;1 \right ],b\in \left [ 0;2 \right ]$).Ta có :

$a+b=1\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1$ (1)

Mặt khác $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\geqslant 0$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geqslant 1\Rightarrow a^2+b^2\geqslant \frac{1}{2}$ 

Tiếp tục như trên $\Rightarrow a^4+2a^2b^2+b^4\geqslant \frac{1}{4}$

Và $a^4-2a^2b^2+b^4\geqslant 0$

$\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geqslant \frac{1}{4}\Rightarrow y=a^4+b^4\geqslant \frac{1}{8}$ (dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$)

Ta lại có :

$\left | a \right |\leqslant 1$ ; $\left | b \right |\leqslant 2$ (các dấu bằng xảy ra đồng thời khi $\sin x=-1$)

$\Rightarrow y=\left | a \right |^4+\left | b \right |^4\leqslant 1^4+2^4=17$

Vậy điều kiện có nghiệm là $\frac{1}{8}\leqslant m\leqslant 17.$

 

Cách 2 :

$y'=4\cos x(2\sin^3x-3\sin^2x+3\sin x-1)$

$y'=0\Leftrightarrow \cos x=0$ hoặc $\sin x=\frac{1}{2}$

+ $\cos x=0;\sin x=1\Rightarrow y=1$ (3)

+ $\cos x=0;\sin x=-1\Rightarrow y=17$ (4)

+ $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{8}$ (5)

(3),(4),(5) $\Rightarrow \max\ y=17$ ; $\min\ y=\frac{1}{8}$

Vậy điều kiện có nghiệm là $\frac{1}{8}\leqslant m\leqslant 17.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-10-2016 - 10:37