Chủ đề này có 2 trả lời

[halloffame]

Tìm $n \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $2^{2^n}+1 \vdots 2^{n+2}+1.$

[takarin1512]

Ta chứng minh bổ đề sau: Với hai số nguyên dương $a>b$ thỏa mãn $2^b+1|2^a+1$ thì $a=\left ( 2^k+1 \right )b$

Thật vậy, ta có $2^b+1|\left ( 2^a+1 \right )-\left ( 2^b+1 \right )=2^b\left ( 2^{a-b}-1\right )\Rightarrow 2^b+1|2^{a-b}-1\Rightarrow a-b> b$

$2^b+1|\left ( 2^{a-b}-1 \right )+\left ( 2^b+1 \right )=2^b\left ( 2^{a-2b}+1 \right )\Rightarrow 2^b+1|2^{a-2b}+1$. Nếu $a-2b>b$ thì cứ tiếp tục làm như vậy, sau hữu hạn lần ta sẽ thu được $a-2^kb=b\Rightarrow a=\left ( 2^k+1 \right )b$

Quay lại bài toán,nếu $2^n=n+2\Rightarrow n=2$ là một nghiệm của phương trình. Nếu $2^n>n+2$ áp dụng bổ để trên ta có được $2^n=\left (2^k+1 \right )\left ( n+2 \right )\Rightarrow 2|2^k+1\Rightarrow k=0\Rightarrow 2^n=2\left ( n+2 \right )$, phương trình này không có nghiệm nguyên dương.

[yeutoan2001]

Ta chứng minh bổ đề sau: Với hai số nguyên dương $a>b$ thỏa mãn $2^b+1|2^a+1$ thì $a=\left ( 2^k+1 \right )b$

Thật vậy, ta có $2^b+1|\left ( 2^a+1 \right )-\left ( 2^b+1 \right )=2^b\left ( 2^{a-b}-1\right )\Rightarrow 2^b+1|2^{a-b}-1\Rightarrow a-b> b$

$2^b+1|\left ( 2^{a-b}-1 \right )+\left ( 2^b+1 \right )=2^b\left ( 2^{a-2b}+1 \right )\Rightarrow 2^b+1|2^{a-2b}+1$. Nếu $a-2b>b$ thì cứ tiếp tục làm như vậy, sau hữu hạn lần ta sẽ thu được $a-2^kb=b\Rightarrow a=\left ( 2^k+1 \right )b$

Quay lại bài toán,nếu $2^n=n+2\Rightarrow n=2$ là một nghiệm của phương trình. Nếu $2^n>n+2$ áp dụng bổ để trên ta có được $2^n=\left (2^k+1 \right )\left ( n+2 \right )\Rightarrow 2|2^k+1\Rightarrow k=0\Rightarrow 2^n=2\left ( n+2 \right )$, phương trình này không có nghiệm nguyên dương.

        Bổ đề này sao lạ quá ạ Em nghĩ là sau 2k+1 Chứ đâu phải a=($2^{k}+1$)b

            Với lại dùng tính chất gì để suy ra thế